Aufgabe 1
Der grosse Zeiger einer Uhr ist 3 cm, der kleine 2 cm lang. Berechnen Sie die Wege beider Zeigerspitzen nach 12 Stunden.
Lösung:
grosser Zeiger: s = 12·2·π·3 = 226.2 cm kleiner Zeiger: s = 2·π·2 =12.57 cm
Aufgabe 2
Ein Kreis hat eine Fläche von 125 cm² . Wie gross ist sein Umfang?
Lösung: r = √(A÷π) → u = 2π √ {A ÷ π} = 2 √{πA} = 39,63327 = 39.6 cm
Aufgabe 3
Der Radius r₂ des grossen Kreises beträgt 10 cm, der des kleinen r₁ = 3 cm.
a) Wie gross ist die schraffierte Fläche ?
b) Berechne den Umfang des ganz grossen Kreises und den Gesamtumfang der beiden kleinen Kreise und vergleiche sie.
Lösung: A = π (r₁ + r₂)² – π r₁²- π r₂² = 2π r₁ r₂ = 60 π = 188,49555 = 188.5 cm²
Aufgabe 5
Berechnen Sie die Fläche der schraffierten Figur: r₁ = 12 cm und r2 = 20 cm.
Lösung:
A = π r₂² -π r₁² =π · (r₂ - r₁ )(r₂ + r₁) =π 8·32 = 256 π =804.2477 = 804 cm²
Kreissektor
Aufgabe 6
Ein Kreissektor hat einen Radius von 15 cm und einen Zentriwinkel von 72°. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Sektors.
Lösung: A =⅕π 15² = 141,371669 = 141.4 cm³
Aufgabe 7
Bestimmen Sie den Umfang und die Fläche der folgenden Figur. Die Figur besteht aus einem Halbkreis und einem rechtwinkligen Dreieck.
Lösung:
A = ½ 4.5·4.5 + ½ π 2.25² =
A = 2 r² + ½ π r² = r²(2 + ½ π) = 18,0771564
u= 4.5 + π · 2.25 + 4.5 · √2 = 17,932544
Aufgabe 8
Berechnen Sie die dick umrahmte Fläche und die Länge der dicken Linien, wenn a = 10 cm ist. Durchmesser der Halbkreise: d = a Durchmesser des Mittelkreises: d = 0.5 a
Lösung:
Länge: u = 4 a + 2 · 2 π ½ a + 2π ¼ a = 4 a+2.5 π a = 40 + 25 π = 118,539816339
Fläche: A = 4 a² – 2 π (½a)² – π(¼a)² = 4a² – 2.25 π ¼ a² = 400 – 176.71458 = 223,29
Aufgabe 9
Ein Kreissektor hat einen Radius von 15 cm und einen Zentriwinkel von 72 °. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Sektors.
Lösung: 0.2 π 15² = 45 π
Aufgabe 10
Aus einem Quadrat werden verschiedene Kreisteile ausgeschnitten.
Berechne jeweils die graue Restfläche
Lösung :
a) A = 25 – π 2.5² = 5,365045915 = 5.365 cm²
b) A = 25 – ½ π 2.5²= 15.1825229 cm²
c) A = 5.365
Aufgabe 11
Berechnen Sie den Radius des Halbkreises
Lösung:
r² = (r - 5)² + 15²
r² = r² -10 r + 25 + 225
r = 25 cm
Aufgabe 12
a) Berechne die Fläche des markierten Kreissegments. Dabei ist der Radius 20 cm lang und die Strecke h beträgt 15 cm.
b) Für welchen Winkel φ ist die Segmentfläche und die Dreiecksfläche gleich gross.
Lösung:
cos (½ φ) = h/r = 15/20 = 3/4 → ½ φ= 41,4096221 °
φ = 82,8192442= 82.82 °
a)
ASektor = 82.81/360· π·20² =289,061430
ADreieck = ½ · sin 82.81° · 20² = 198,42731219
ASegment = 289.06 – 198.43 = 90,63 cm²
b) 2 ADreieck = ASektor
sin(φ)· r² = φ/360 π r²→ φ = 108.6°
Aufgabe 14
Berechne den Flächeninhalt des Kreissegments.
Lösung:
sin α = 9 over 24 → ½ α = 22,024
Dreieck: h = sqrt 24² – 9 ² = 22,248
A = ½ 18 22.24 = 200.16
Sektor: A = π·24 ² 44.04 ÷ 360 = 221,36
Asegment = 21.36
Aufgabe 15
Der „Punkt“ der Logos des ETF (Eidgenössisches Turnfest) kann als Quadrat mit vier Kreissegmenten geo, metrisch abgebildet werden. a) Berechnen Sie den Radius r des Kreissegments in Abhängigkeit von a. 1P b) Berechnen Sie den Winkel α und vereinfachen Sie das Resultat so weit als möglich. 1P c) Berechnen Sie die Fläche des schraffierten Kreissegments in Abhängigkeit von a.
|
|
|
Aufgabe 16
Das Dreieck im Inneren der Herzfigur ist gleichseitig. Die Seitenlänge des Dreiecks beträgt 8 cm.
a) Bestimme die Länge der vier Kreisbögen.
b) Wie gross ist die Fläche der Herzfigur?
Lösung:
u = 2 π 2 +⅓ · 2 π 8 = 9 ⅓ π = 29,321520961
A = π 4 + ⅓ π 64 – ½ 8 √ 3 /2 8 = 25 ⅓ π – 16 √3 = 79,58701284 – 27,7128129 = 51,874
¾⁸₀₃⅙₁₂⅓⅔⁴⅕⅖
Aufgabe 17
Berechnen Sie die schraffierte Fläche
Lösung:
tg α = 3 ÷ 5 → α =30,963756 = 30.96°
Segment 10
A = 62 ÷ 360 π 5² - ½ 5² sin 62° = 13,526 -11,036 = 2.49
Segment 6
A = 118 ÷ 360 π 3² - ½ 3² sin 118° =9,26769- 3,97326 = 5.29
A = 60 - ½π·(34) + 2.49+5.29 =14,3729248 = 14.37 cm²
Aufgabe 18
Aufgabe 19
Zwei Kreise mit einem Radius von je 4 cm haben eine gemeinsame Fläche mit dem Inhalt von 2.6 cm² , vgl. Skizze. Wie weit sind die Mittelpunkte voneinander entfernt? Runden Sie Ihr Resultat auf 3 sign. Stellen.
Lösung:
Aufgabe 20
In der Figur ist (AB) die Kreistangente am k₁ in B. Der Kreis k₂ mit Mittelpunkt A berührt den Kreis k₁ in C. Ferner ist MB = 6 cm, AB = 8 cm. Wie gross ist die eingefärbte Fläche?
Lösung:
tg α = 6/8 → α = 36,869897°
tg β =
AM = 10
AC = 10 – 6 = 4
ADreieck = ½ 6·8 = 24
ASektA = 36.87°/360°·π 16 = 5,14802
ASektM = (53.13°/360°) π 36 =16,691281768
ASchraffiert = 24 - 5.15 - 16.69 =2,16
Aufgabe 21
Berechnen Sie den Flächeninhalt und den Umfang der schraffierten Fläche.
Lösung:
u = 1.5 · 2·π 3 + ½ · 2 π·6 = 9π + 6π = 15π = 47,12388980384 = 47.12 cm
A = 1.5 π 3² + 81 - ½ π·6² = 13.5π + 81 - -18 π = 66,862833 = 66.86 cm²
Aufgabe 22
Berechnen Sie den Flächeninhalt des schraffierten Reststückes für r = 6 cm und α = 30° .
Lösung: gleichseitiges Dreieck h = s √{3}/2 → s = 2h/√3
hD = ½ s = h/√3 = 2 r/√3
AD = ½ 2r · 2r/√3 = 2r²/√3 = r² 2·⅓√3
Asektor = ⅙ π r²
Adreieck = ½ r r √3 /2 = ¼r²√3
Aschraffiert = r²·2 ⅓√3 – r²⅙ π – r²√3 ÷ 4 = 5 √ 3 ÷ 12 r²– ⅙ π· r² =0,198089060 r²= 7,13120619
Aufgabe 23
∆ABC ist ein Dreieck mit den Seiten a = 32 m, b = 24 m und dem Winkel beta = 0.75 . A ist der Mittelpunkt des Kreisbogens und a die Tangente am Kreisbogen. Welchen Inhalt hat die hervorgehobene Fläche?
Aufgabe 24
a) Berechnen Sie die Länge der Umfangslinie der schraffierten Fläche(fett gezeichnet)
b) Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche.
Aufgabe 25
Berechne den Flächeninhalt der punktierten Sichel für s = 5 cm.
Lösung:
AB = 5 sqrt 2 = 7,0710678→ r = 3,535533905932
Atot = ½ 5·5 + ½ π 3,53553390² = 12.5 +π·6.25 = 32,1349540
Asekt =¼ π s² = ¼ π5² = 19,63495408
Asichel = 32.135 – 19.635 = 12,5
Hinweis: Sektor = Halbkreis
Segment: 19.63-12.5 =7.13 cm²
Aufgabe 26
In der folgenden Zeichnung sind gegeben :
Die Längen der Strecken a1 = 24 m , a2 =45 m, b1 = 60 m, b2 = 36 m, c1 = 44 m , c2 = 103 m.
Berecnen Sie die Länge der Strecken x und y.
Aufgabe 27
Berechnen Sie den Flächeninhalt der schraffierten Figur in Abhängigkeit vom Kreisradius r.
Lösung:
h2 = 8/9 r2
R2 = 8/3 r2
Aufgabe 28
Berechnen Sie den Flächeninhalt und den Umfang der schraffierten ebenen Figur allgemein aus dem Radius R. Die Resultate sind exakt, d.h. ohne Dezimalbrüche anzugeben.
Lösung:
A = ASekg -ADg + 2 ADk + ASekk = 1/6 p (2r)² – ½ 2r √ 3 2r ÷ 2 + 1/6π r2 + 2 ½ r r √3 ÷ 2 =5/6 π r2 – ½ √ 3² r² = 1,75196847 r²
Aufgabe 29
a) Berechnen sie x aus a.
b) Berechnen Sie die Streckenlänge AM, so wie die Winkel des Dreiecks ABM
Aufgabe
Gegeben ist ein Kreissektor ABC durch Radius r = 1 cm und α = 32° sowie ein Kreisbogen um B mit RadiusBC. Berechnen Sie den Flächeninhalt A des schraffierten Bereiches.
Lösung:
AABC = ½ sin(32°) = 0,26495963211660247702339057590804
CB/sin 32 = 1÷sin 74 → CB =0,55127471163399837129994314922261
Adreieck = ½ sin 42 1 0.5512 = 0,18441239511250132373052092993728
Asektor = 42/360π· 0.5512² = 0,11135637378915841761806476487335
Aschraffiert = -0,07305592621084158238193523512665
Aufgabe
Berechnen Sie den Flächeninhalt der grauen Fläche, wenn die Kreisradien 6 cm, 8 cm und 11 cm lang sind.
Lösung:
c = 11+8 =19 α=45,349014833990471384647662442607
a= 8+6 = 14 β=59,750966949413445508456786519442
b= 6+11=17 γ=
cos α = {19² + 17² – 14²} ÷ {2 ·19 ·17} = 0,7027863777089783281733746130031
α = 45,349014833990471384647662442607
cos β = 142 + 192 – 172 over 2 14 19 =0,50375939849624060150375939849624
β = 59,750966949413445508456786519442
γ =180 -45-60 =74,90004
Dreieck=½ 19 17 sin 45.349=114,89122354538256746663049250201
c: A = 47,885106430457965450267033859415
a: 33,370695298131581510780967493502
b: 23,530528975387551356085198940763
Aschr: 10,0985