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hello rationale funktion 

Aufgabe 1

Folgende Funktion ist gegeben: f(x) = {x² + 2 x + k} ÷ {x - 2}

a) Wie gross muss der Parameter k sein, damit die Kurve die x-Achse berührt?

b) Wie gross muss der Parameter k sein, damit die Kurve durch den Punkt P(1/1) geht.

Lösung:

a) D = 4 -4 k = 0 → k = 1

b) 1 = (1 + 2 + k) / ( - 1) → k = -4


Aufgabe 2

Es gilt:     f(x) = {x² + k · x + 9 } ÷ { x + 1}

a) Zeichnen Sie die Funktion für k = 10 auf und beschriften Sie die Funktion.

b) Wie muss man den Parameter k wählen, damit eine Nullstelle bei x = +1 liegt?

Lösung:

a) k = 10 → f(x) = x+9             Definitionslücke bei x = -1

b) 0 = 1+ k + 9 → k = -10

 


Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktionsgleichung: f(x) = y = x² ÷ (x - 3) mit ihrem grösstmöglichen Definitionsbereich.

a) Zeichnen Sie den Graph von f auf einer halben Seite A4 und beschriften Sie alle wichtigen Merkmale.

b) Bestimmen Sie

    i) den Definitionsbereich der Funktion,

    ii) den Wertebereich der Funktion,

    iii) die Nullstellen des Graphen und

    iv) die Gleichung der Asymptote.

Lösung:

Asymptote:    y = x +3 und x = 3

Wertebereich: a = x2 ÷ (x - 3) →a x -3 a = x2 → x2 - a x + 3 a = 0

                    D = a²- 12 a = a·(a - 12)    also zwischen a= 0 und a = 12 keine Funktionswerte.

Lösung:

Pol(senkrechte Asymptote):                             x = 3

Nullstellen:                                                             x² = 0 → x1;2=0

Asymptote (nicht senkrechte Asymptote):    x² ÷ (x - 3) = x + 3

Lücke im Wertebereich:

a (x - 3) = x² → x² – a x + 3 a = 0 → D = a² – 12 a →

a1 = 0, xu = 0     und     a2 = 12, xo = 6

 


Aufgabe 4

Bestimmen Sie von der Funktion:        f: y = {x² +3 x -4} ÷ {4 x -8 }

    a) die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

    b) die Pole,

    c) die nicht senkrechte Asymptote.

    d) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f und beschriften Sie ihn sauber und korrekt.

Lösung:

a)    (x+4)·(x-1) = 0 also Nullstellen x1 = -4 und x2 = +1

b)  4(x-2) = 0 also Pol x = 2

c) y = ¼ ( x +5)

Lösung:

Nullstelle: x² + 3 x - 4 = (x-1)(x+4) → x1 = -4 und x2 = +1

y- Achsenabschnitt: x = 0 → y = -4 div -8 =½

Pole: x = 2

Asymptote:; {x² +3 x- 4} div {4 x- 8 }= ¼ x +1¼

 

hello

Aufgabe 5

Gegeben ist die Funktionsgleichung:f(x) = y = (x + 1)² ÷ {x-2} mit ihrem grösstmöglichen Definitionsbereich.

a) Zeichnen Sie den Graph von f auf einer halben Seite A4 und beschriften Sie alle wichtigen Merkmale.

b) Bestimmen Sie

i) den Definitionsbereich der Funktion, ii) den Wertebereich der Funktion, iii) die Nullstellen des Graphen und iv) die Gleichung der Asymptote.

 y=(x+2)(x+2)/(x-2)y=(x+2)(x+2)/(x-2)

ai) ohne x =+2     aiii) x = -1     aiv) y = x+4

 

aii) Lücke im Wertebereich

ax-2a= x2 + 2x +1 D = (2-a)rsup 2 -4 (1+2a) 0= a2 -12a =a(a-12)

Lücke zwischen 0 und 12

Lokale Extrema: x = -1 x= 5

 

x = 0 → y = -0.5

 

 

 

 


Aufgabe 6

Bestimmen Sie von der Funktion: f: y = {x rsup 3 + x rsup 2 - 6 x} over {x rsup 2 + x - 2 }

 a) die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

b) die Pole,

c) die nicht senkrechte Asymptote.

d) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f und beschriften Sie ihn sauber und korrekt.

 

Lösung:

x(x-2)(x+3) = 0 Nullstellen; x1 = 0; x2 = -3 und x =+ 2

x=0; y=0

(x+2)

y = x

 

Mit dem Grenzwert ist es so wie mit dem Highlander: Es kann nur einen geben!


 

Hätte man die nukleare Bedrohung in Japan verhindern können? «Gute Güte, nein! Nur weil in einem Land täglich die Erde zittert, kann man doch nicht auf Kraftwerke verzichten, die bei Schäden komplett ausser Kontrolle geraten. Zudem waren die japanischen AKW auf eine Erdbebenstärke bis 8,0 ausgerichtet. Keiner konnte ahnen, dass Gott sich nicht an diesen Grenzwert hält.»

Aufgabe 7

Eine Firma wirbt für die Wärmedämmung von Häusern mit der Verringerung der Heizkosten. Sie behauptet, dass bei einer Dämmschicht der Dicke d für die jährlichen Heizkosten H(d) pro m² Außenwand gilt: d 3 10 H )d( + = (d in cm; H(d) in €)

a) Bei welcher Dicke der Dämmschicht betragen die Heizkosten noch ein Drittel der Heizkosten ohne Dämmschicht ?

Für das Anbringen einer Dämmschicht der Dicke d berechnet die Firma pro m² einen Betrag )d(F = 72 + 5,3 d (d in cm; F(d) in €)

b) Welche Bedeutung haben dabei die Zahlen 72 und 3,5 in der Praxis ? Bei einer Betriebszeit von 20 Jahren setzen sich die Gesamtkosten pro m² zusammen aus den Kosten für das Anbringen der Dämmschicht und den Heizkosten während der folgenden 20 Jahre.

c) Bei welcher Dicke der Dämmschicht sind die Gesamtkosten am kleinsten ?

Lösung:

a) H(0) = 3 

10/(d+3) =  ⅓ ·3  → d = 6

b) 72: feste Kosten 3.5: variable Kosten

c) K(d) = 72 + 3.5 d + 200/(d+3) drarrow d = 4.56

 

Aufgabe 8

Die Herstellungskosten eines Computers in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl werden durch die Funktion H mit

                        H(x) = (1100x + 48000 ) ÷(2 x + 3 )     mit     x ≥ 0

beschrieben (x: Stückzahl, H(x): Herstellungskosten des x-ten Computers in Euro). Ihr Schaubild sei K.

Skizziere das Schaubild K und zeige, dass die Herstellungskosten ständig sinken. Wie hoch sind die langfristigen Herstellungskosten ?

Wie hoch sind die durchschnittlichen Herstellungskosten eines Computers bei einer Stückzahl von 1000 bzw. 10.000 Stück.

Ein Händler kauft die Computer zum Herstellungspreis ein und verkauft sie zu einem Preis von 640 Euro. Ab welcher Stückzahl liegen die Herstellungskosten erstmals unter dem Verkaufspreis ?

Wie hoch ist der Gewinn des Händlers, wenn 5.000 Computer bei der Herstellerfirma geordert werden und die Verkaufsrate 98,5% beträgt ?

Wie hoch muss die Verkaufsrate mindestens sein, so dass kein Verlust entsteht ?

Lösung

Aufgabe 9

In einem landwirtschaftlichen Versuchsbetrieb wird auf gleich großen Versuchsflächen jeweils eine bestimmte Menge Mineraldünger ausgebracht. Nach der Ernte wird der Ertrag bestimmt. Man kommt zu folgenden Ergebnissen: Mineraldünger in kg 0 10 20 Ertrag in kg 800 880 940 Der Zusammenhang zwischen Mineraldünger und Ertrag soll modellhaft durch die Funktion f mit

                    f(x) = ( a x + b) ÷ (x + c)  (x: Menge an Mineraldünger in kg, f(x) Ertrag in kg)

beschrieben werden.

a) Bestimme die Parameter a,b und c so, dass die Funktion f die obigen Ergebnisse wiedergibt (Teilergebnis: x 60 1360x 48000 )x(f + + = ).

b)Welcher Ertrag kann nach diesem Modell maximal erzielt werden ?

c) Welche Menge an Mineraldünger muss eingesetzt werden, so dass der Ertrag auf das 1,5- fache im Vergleich zur ungedüngten Versuchsfläche gesteigert wird ? d) Berechne die prozentuale Abweichung des Modells vom realen Ertrag, wenn dieser bei einem Einsatz von 60 kg Mineraldünger 980 kg beträgt.

e) Da die Funktion f die tatsächlichen Werte nur anfangs gut wiedergibt, werden die obigen Versuchsergebnisse durch eine ganzrationale Funktion g zweiten Grades näherungsweise dargestellt. Gib eine Funktionsgleichung von g an und berechne damit, bei welcher Menge Mineraldünger der höchste Ertrag erzielt werden kann.

1 kg Mineraldünger kostet 2 Euro. 1 kg Ernteertrag erzielt einen Preis von 6 Euro. Bei welcher Mineraldüngermenge ist der Gewinn am größten ?

Lösung:

a)

800 = b/c

880 = (10a+b)/(10+c)

940 = (20a+b)/(20+c)

 

a= 1360

b= 48 000

c = 60

b) Asymptote a(x) = 1360

c) 1200 = (1360 x + 48000)/(x + 60) → x = 150

d) 1080 statt 980 ca 10.2% zu viel

Aufgabe 6

Der Graph von f ist kongruent zum Graphen von g(x) =  1/x mit Dg = ℝ ∖ { 0}

und besitzt den Pol x = −2 und die Asymptote y = −1. Berechnen Sie die Nullstelle von f.

Lösung: f(x) = 1 /(x+2) -1 = (-x-2)/(x+2) → Nullstelle x = 2