Ihre Browserversion ist veraltet. Wir empfehlen, Ihren Browser auf die neueste Version zu aktualisieren.

hello kreiselemente

Behauptung: Unendlich = 2
Beweis:
Wieviele Symmetrieachsen hat ein Kreis?

Antwort: Unendlich viele!

Jetzt teilen wir alles durch zwei!

Wieviele Symmetrieachsen hat der Halbkreis?

Antwort: Eine einzige! Daraus folgt: Unendlich=2.

Formeln

Kreis

A = π r²

u = 2π r

Kreisring

A =π ·(r₁² - r₂²) = π (r + r)·(r - r)        r > r

Kreissektor

A = α/360° π r² = 

Kreissegment

A = (α /360°) · π·r² - ½ sin(α) ·r²

Aufgabe 1

Der grosse Zeiger einer Uhr ist 3 cm, der kleine 2 cm lang. Berechnen Sie die Wege beider Zeigerspitzen nach 12 Stunden.

Lösung:

grosser Zeiger: s = 12·2·π·3 = 226.2 cm            kleiner Zeiger: s = 2·π·2 =12.57 cm

 

Aufgabe 2

Ein Kreis hat eine Fläche von 125 cm² . Wie gross ist sein Umfang?  

Lösung: r = √(A÷π) → u = 2π √ {A ÷ π} = 2 √{πA} = 39,63327 = 39.6 cm


 

Aufgabe 3

Der Radius r des grossen Kreises beträgt 10 cm, der des kleinen r = 3 cm.

a) Wie gross ist die schraffierte Fläche ?

b) Berechne den Umfang des ganz grossen Kreises und den Gesamtumfang der beiden kleinen Kreise und vergleiche sie.

Lösung:  A = π (r + r)² – π r₁²- π r₂² = 2π r r = 60 π = 188,49555  = 188.5 cm²

 

 

 

Aufgabe 4        Kreisring

a) Der Umfang eines kreisrunden Teiches beträgt 150 m . Wie gross ist seine Fläche?

b) Um den Teich führt ein 2 m breiter Weg. Bestimmen Sie seine Fläche.

Lösung:

a) r = 150/(2·π) = 23,873241463

A₁ = π·r² = π 23.87² = 1790,493109783

 

b) A₂ = π·25.87² = 2103,02022

Aring = 2103.02 – 1790.49 = 312,53 m²

Aring = 2 π·24.87·2 = 312,53 m²

 

Aufgabe 5

Berechnen Sie die Fläche der schraffierten Figur:  r = 12 cm und r2 = 20 cm.

Lösung:

A = π r₂² -π r₁² =π · (r - r )(r + r) =π 8·32 = 256 π =804.2477 = 804 cm²

 

 

 

 

 

 

 


Kreissektor

Aufgabe 6

Ein Kreissektor hat einen Radius von 15 cm und einen Zentriwinkel von 72°. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Sektors.

Lösung: A =π 15² = 141,371669 = 141.4 cm³


 

Aufgabe 7

Bestimmen Sie den Umfang und die Fläche der folgenden Figur. Die Figur besteht aus einem Halbkreis und einem rechtwinkligen Dreieck.  

Lösung:

A = ½ 4.5·4.5 + ½ π 2.25² = 

A = 2 r² + ½ π r² = r²(2 + ½ π) = 18,0771564

 

u= 4.5 + π · 2.25 + 4.5 · √2 = 17,932544

 

 

 

 


 

Aufgabe 8

Berechnen Sie die dick umrahmte Fläche und die Länge der dicken Linien, wenn a = 10 cm ist. Durchmesser der Halbkreise: d = a     Durchmesser des Mittelkreises: d = 0.5 a

Lösung:

Länge: u = 4 a + 2 · 2 π ½ a + 2π ¼ a = 4 a+2.5 π a = 40 + 25 π = 118,539816339

 

Fläche: A = 4 a² – 2 π (½a)² – π(¼a)² = 4a² – 2.25 π ¼ a² = 400 – 176.71458 = 223,29

 

 

 


Aufgabe 9

Ein Kreissektor hat einen Radius von 15 cm und einen Zentriwinkel von 72 °. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Sektors.  

Lösung: 0.2 π 15² = 45 π

Aufgabe 10

Aus einem Quadrat werden verschiedene Kreisteile ausgeschnitten.
Berechne jeweils die graue Restfläche

 Lösung :     

a) A = 25 – π 2.5² = 5,365045915 = 5.365 cm²                

b) A = 25 – ½ π 2.5²= 15.1825229 cm²                

c) A = 5.365

 

 

 


 

Aufgabe 11

Berechnen Sie den Radius des Halbkreises

Lösung:

r² = (r - 5)² + 15²

r² = r² -10 r + 25 + 225

r = 25 cm

Aufgabe 1

Wie gross ist in einem Kreis mit Radius r = 14 cm der zur Sehne s = 21 cm gehörende Zentriwinkel?

Aufgabe 12

a) Berechne die Fläche des markierten Kreissegments. Dabei ist der Radius 20 cm lang und die Strecke h beträgt 15 cm.

b) Für welchen Winkel φ ist die Segmentfläche und die Dreiecksfläche gleich gross.

Lösung:

cos φ) = h/r = 15/20 = 3/4 → ½ φ= 41,4096221 °

φ = 82,8192442= 82.82 °

a)

ASektor = 82.81/360· π·20² =289,061430

ADreieck = ½ · sin 82.81° · 20² = 198,42731219

ASegment = 289.06 – 198.43 = 90,63 cm²

b) 2 ADreieck = ASektor

sin(φ)· = φ/360 π r²→ φ = 108.6°

 

Aufgabe 13

Die Fläche eines Kreissegments mit einem Radius von 5 cm beträgt 5 cm². Wie gross ist der Zentriwinkel?

Lösung:

5 = x/360° π 5² – ½ 5² sin x → x = 79.2°    exakt CAS-TR

5 = x 12.5 -12.5 (x-x³/6) → 5= 12.5 x³/6 →x = 1,338865900164 =76,71136541° (1.Näherung)

5 = x 12.5 -12.5 (x-x³/6+x5/120) → 5= 12.5 {x³/6-x5/120} →x = 1,3769520579732435069736287079629 =78,89(2.Näherung)

 

Aufgabe 14

Berechne den Flächeninhalt des Kreissegments.

Lösung:

sin α = 9 over 24 → ½ α = 22,024

Dreieck: h = sqrt 24² – 9 ² = 22,248

A = ½ 18 22.24 = 200.16

Sektor: A = π·24 ² 44.04 ÷ 360 = 221,36

Asegment = 21.36

 

 

 


Aufgabe 15

Der „Punkt“ der Logos des ETF (Eidgenössisches Turnfest) kann als Quadrat mit vier Kreissegmenten geo, metrisch abgebildet werden. a) Berechnen Sie den Radius r des Kreissegments in Abhängigkeit von a. 1P b) Berechnen Sie den Winkel α und vereinfachen Sie das Resultat so weit als möglich. 1P c) Berechnen Sie die Fläche des schraffierten Kreissegments in Abhängigkeit von a.

 

 

 


Aufgabe 16

Das Dreieck im Inneren der Herzfigur ist gleichseitig. Die Seitenlänge des Dreiecks beträgt 8 cm.

a) Bestimme die Länge der vier Kreisbögen.

b) Wie gross ist die Fläche der Herzfigur?

Lösung:

u = 2 π 2 + · 2 π 8 = 9  π = 29,321520961

 A = π 4 +  π 64 – ½ 8 √ 3 /2 8 = 25  π – 16 √3 = 79,58701284 – 27,7128129 = 51,874

 

¾⁸₀₃⅙₁₂⅓⅔⁴⅕⅖

 

Aufgabe 17

Berechnen Sie die schraffierte Fläche

Lösung:

tg α = 3 ÷ 5 → α =30,963756 = 30.96°

Segment 10

A = 62 ÷ 360 π 5² - ½ 5² sin 62° =  13,526 -11,036  = 2.49

Segment 6 

 A = 118 ÷ 360 π 3² - ½ 3² sin 118° =9,26769- 3,97326 = 5.29

A = 60 - ½π·(34) + 2.49+5.29 =14,3729248 = 14.37 cm²

 

Aufgabe 18

 

 

 

Aufgabe 19

Zwei Kreise mit einem Radius von je 4 cm haben eine gemeinsame Fläche mit dem Inhalt von 2.6 cm² , vgl. Skizze. Wie weit sind die Mittelpunkte voneinander entfernt? Runden Sie Ihr Resultat auf 3 sign. Stellen.  

 Lösung:

Aufgabe 20

In der Figur ist (AB) die Kreistangente am k in B. Der Kreis k mit Mittelpunkt A berührt den Kreis k in C. Ferner ist MB = 6 cm, AB = 8 cm. Wie gross ist die eingefärbte Fläche?

Lösung:

tg α = 6/8 → α = 36,869897°

tg β =

AM = 10

AC = 10 – 6 = 4

ADreieck = ½ 6·8 = 24

ASektA = 36.87°/360°·π 16 = 5,14802

ASektM = (53.13°/360°) π 36 =16,691281768

ASchraffiert = 24 - 5.15 - 16.69 =2,16

 

 Aufgabe 21

Berechnen Sie den Flächeninhalt und den Umfang der schraffierten Fläche.

Lösung:

u = 1.5 · 2·π 3 + ½ · 2 π·6 = 9π + 6π = 15π = 47,12388980384 = 47.12 cm

 

A = 1.5 π 3² + 81 - ½ π·6² = 13.5π + 81 - -18 π = 66,862833 = 66.86 cm²

 

 

 

 

 

Aufgabe 22

Berechnen Sie den Flächeninhalt des schraffierten Reststückes für r = 6 cm und α = 30° .  

 

Lösung: gleichseitiges Dreieck h = s √{3}/2 → s = 2h/√3

 hD = ½ s = h/√3 = 2 r/√3

 

AD = ½ 2r · 2r/√3 = 2r²/√3 = r² 2·√3 

 Asektor = ⅙ π r²

 Adreieck = ½ r r √3 /2 = ¼r²√3  

 Aschraffiert =  r²·2 √3  –  r²⅙ π –  r²√3 ÷ 4 = 5 √ 3 ÷ 12 r²– ⅙ π· r² =0,198089060 r²= 7,13120619

 

 

Aufgabe 23

∆ABC ist ein Dreieck mit den Seiten a = 32 m, b = 24 m und dem Winkel beta = 0.75 . A ist der Mittelpunkt des Kreisbogens und a die Tangente am Kreisbogen. Welchen Inhalt hat die hervorgehobene Fläche?  

 

 

 

Aufgabe 24

a) Berechnen Sie die Länge der Umfangslinie der schraffierten Fläche(fett gezeichnet)

b) Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche.

Aufgabe 25

Berechne den Flächeninhalt der punktierten Sichel für s = 5 cm.

Lösung:

AB = 5 sqrt 2 = 7,0710678→ r = 3,535533905932

Atot = ½ 5·5 + ½ π 3,53553390² = 12.5 +π·6.25 = 32,1349540

 

Asekt =¼ π s² = ¼ π5² = 19,63495408

 

Asichel = 32.135 – 19.635 = 12,5

Hinweis: Sektor = Halbkreis

 Segment: 19.63-12.5 =7.13 cm²

Aufgabe 26

In der folgenden Zeichnung sind gegeben :

Die Längen der Strecken a1 = 24 m , a2 =45 m, b1 = 60 m, b2 = 36 m, c1 = 44 m , c2 = 103 m.

Berecnen Sie die Länge der Strecken x und y.

 

Aufgabe 27

Berechnen Sie den Flächeninhalt der schraffierten Figur in Abhängigkeit vom Kreisradius r.

Lösung:

h2 = 8/9 r2

R2 = 8/3 r2

Aufgabe 28

Berechnen Sie den Flächeninhalt und den Umfang der schraffierten ebenen Figur allgemein aus dem Radius R. Die Resultate sind exakt, d.h. ohne Dezimalbrüche anzugeben.

 

Lösung:

A = ASekg -ADg + 2 ADk + ASekk = 1/6 p (2r)² – ½ 2r √ 3 2r ÷ 2 + 1/6π r2 + 2 ½ r r √3 ÷ 2 =5/6 π r2 – ½ √ 3² r² = 1,75196847 r²

 

Aufgabe 29

a) Berechnen sie x aus a.

b) Berechnen Sie die Streckenlänge AM, so wie die Winkel des Dreiecks ABM

 

 

Aufgabe

Gegeben ist ein Kreissektor ABC durch Radius r = 1 cm und α = 32° sowie ein Kreisbogen um B mit RadiusBC. Berechnen Sie den Flächeninhalt A des schraffierten Bereiches.

Lösung:

AABC = ½ sin(32°) = 0,26495963211660247702339057590804

CB/sin 32 = 1÷sin 74 → CB =0,55127471163399837129994314922261

Adreieck = ½ sin 42 1 0.5512 = 0,18441239511250132373052092993728

Asektor = 42/360π· 0.5512² = 0,11135637378915841761806476487335

Aschraffiert = -0,07305592621084158238193523512665

Aufgabe

Berechnen Sie den Flächeninhalt der grauen Fläche, wenn die Kreisradien 6 cm, 8 cm und 11 cm lang sind.

Lösung:

c = 11+8 =19     α=45,349014833990471384647662442607

a= 8+6 = 14 β=59,750966949413445508456786519442

b= 6+11=17 γ=

 

cos α = {19² + 17² – 14²} ÷ {2 ·19 ·17} = 0,7027863777089783281733746130031

α = 45,349014833990471384647662442607

 

cos β = 142 + 192 – 172 over 2 14 19 =0,50375939849624060150375939849624

β = 59,750966949413445508456786519442

 

γ =180 -45-60 =74,90004

 

Dreieck=½ 19 17 sin 45.349=114,89122354538256746663049250201

c: A = 47,885106430457965450267033859415

a: 33,370695298131581510780967493502

b: 23,530528975387551356085198940763

Aschr: 10,0985