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Vorbereitung Mathematik Abschluss

 Aufgabe 1    Polynomdivision

 a)    (3 x³ – 15 x² – 51 x + 63)  ÷ (x + 3) 

 Lösung: 3 x² -24 x +21

 b)    (6 x³ + 13 x² + 19 x + 7) ÷  (2 x + 1) 

 Lösung: 3 x² + 5 x + 7    

 

Aufgabe 2

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen:

a)    lg ( x ) = 1 – lg (x – 3)  Lösung: x = 5 b)    lg ( 2 x ) = 1 – lg (x -4)  Lösung: x = 5
c)    log ( x + 5 ) + log ( x - 2 ) = log ( 8 ) Lösung: x = 3    
        
       
       
d)   ( lg  ( x ) - 1)  ÷ (2 lg ( x ) + 1 ) = 1 ÷5 Lösung: x = 100    
       
e)    2 ( lg (  x  ) )² - 5 lg ( x ) - 3 = 0 Lösung: x= 1000    

f)

6 x – y + 4 z = -2     I

- x + 3 y – 2 z = 9     II

3 x + 2 y – z = 9      III

 


Aufgabe 3

Von 3 Zahlen ist die Zweite so gross wie das Doppelte der Summe der anderen bei-den Zahlen. Weiter ist das 10-Fache der dritten Zahl gleich gross wie das 3-Fache der ersten Zahl. Schliesslich beträgt die Summe der 3 Zahlen 39. Wie lauten die drei Zahlen?

Lösung:

x + y + z = 39

y = 2 ( x + z )    

10 z = 3 x

 Lösung:        y = 26        z = 3            x= 10


 

Aufgabe 4

Gegeben ist die Funktionsgleichung: f(x) = y = x² ÷ (x - 3) mit ihrem grösstmöglichen Definitionsbereich.

a) Zeichnen Sie den Graph von f auf einer halben Seite A4 und beschriften Sie alle wichtigen Merkmale.

b) Bestimmen Sie

     i) den Definitionsbereich der Funktion,

     ii) den Wertebereich der Funktion,

     iii) die Nullstellen des Graphen und

     iv) die Gleichung der Asymptote.

Lösung:

Asymptote:    y = x +3 und x = 3

Wertebereich: a = x² ÷ (x - 3) →a x -3 a = x² → x² - a x + 3 a = 0

                    D = a² - 12 a = a ·(a - 12)    also zwischen a = 0 und a = 12 keine Funktionswerte


 

 Aufgabe 5

 Bestimmen Sie von der Funktion:    f: y = {x² +3 x -4}÷ {4 x -8}

 a) die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

 b) die Pole,

 c) die nicht senkrechte Asymptote.

 d) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f und beschriften Sie ihn sauber und korrekt.

Lösung:

a)   (x + 4)·( x - 1) = 0 also Nullstellen x1 = -4 und x2 = +1

b)  4 ( x - 2) = 0 also Pol x = 2

c)   y = ¼( x +5)

Hinweis: Lücke im Wertebereich ergibt keine rationale Lösung.

Aufgabe 6

Ein Schwimmbassin wird durch zwei Pumpen gefüllt. Die erste Pumpe füllt das Bassin alleine in 16 Stunden, die zweite alleine in 12 Stunden. Um 8.00 Uhr werden beide Pumpen zur Füllung des Bassin eingeschaltet. Doch nach einer Stunde fällt die zweite Pumpe aus. Die Reperatur benötigt ganze 9 Stunden, danach arbeiten für den Rest der  Füllung wieder beide Pumpen zusammen. Wann ist das Bassin gefüllt?

Lösung:         t/16 + ( t - 9 )/12 = 1    →     t = 12    also 20.00 Uhr


Aufgabe 7

Ein Feinkostgeschäft mischt 40 kg Rosinen mit Mandeln und Nüssen zu Studentenfutter. 1 kg Mandeln kostet 12.00 Fr,  1 kg Nusse 10.00 Fr, 1 kg Rosinen 4.00 Fr. Die Mischung soll 9.00 Fr je kg kosten. Wie viele kg sind von den Mandeln und Nüssen zu nehmen, wenn von beiden gleich viele kg genommen werden?

Lösung:

x + y + z = 40

y= z

12 x + 10 y + 4 z = 360

 

x+2 y = 40

12 x + 14 y = 360

 

12 x + 24 y = 480

12 x + 14 y =360

 

10 y = 120    →y = 12, x = 16, z = 12


Aufgabe 8

Ein leeres Schwimmbecken kann durch die Zuflussleitung in 15 Stunden gefüllt werden. Ist das Becken voll, so dauert es 20 Stunden, um das Wasser wieder ablaufen zu lassen. Das Becken ist leer. Die Besitzerin will es füllen, vergisst jedoch, den Ablauf zu schliessen. Wie lange dauert es, bis das Schwimmbecken trotzdem voll ist?

Lösung:        t/15-t /20 = 1        →        4t-3t = 60    →     t = 60 h


Aufgabe 9

Ein Händler bestellte bei seinem Lieferanten für CHF 405.-- Reis. Infolge der Frankenaufwertung wurde der Preis pro Kilogramm um CHF 0.20 reduziert. Dadurch erhält er 12 Kilogramm mehr. Was war der ursprüngliche Preis?

Lösung:

(405 ÷ x) + 12 = 405 ÷ (x - 0.2)

4x² -0.8 x -27 = 0

(4 x + 10 )·( x - 2.7) = 0    x = 2.7 ursprünglicher Preis


Aufgabe 10

Der Preis der Gedenkmünze  "1200 Jahre Romanshorn" ist seit 1995 um 2 CHF  gestiegen. Heute erhält man für 567 CHF  achtzehn  Münzen weniger als 1995. 

Wie viele Münzen erhielt man 1995 und wie teuer waren diese?

Lösung:

 567/x - 567/(x + 2) = 18 →63 x + 126 -63 x = 2 x ·(x + 2)→ 2 x ² +4 x  -1 26= 0 →2(x+9)·(x-7)= 0

also 9 sfr und 63 Münzen