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Aufgaben zum Thema:         Kreisberührungen

 

Aufgabe 1

Breite (Durchmesser): b = 24

Bestimmen Sie den Radius des kleinen Kreises

Lösung:    Pythagoras (12 + x)² = 12²  + (12 - x )²

144 + 24 x + x² = 144 + 144 – 24 x +x² →48 x = 144 →x = 3 (kleiner Radius)


Aufgabe 2

Gesucht ist die Beziehung zwischen dem Radius des grossen(r) und des kleinen Kreises(x).

r: grosser Kreis        x: kleiner Kreisberührung

(r+x)² – (r-x)² = (2 r-x)² – x²

4 r x = 4 r² -4 r x x =½ r

 

Aufgabe 5

 Die beiden kleinen Halbkreise berühren sich. Berechnen den schraffierten Flächeninhalt a) für r = 2 cm. b) für r allgemein.

 

Lösung:  +(2r - x)2 = r+x

 

r2 + 4 r2 – 4 r x +x2 = r2 +2 r x + x2

 

4 r²= 6 r x x = 2/3 r

 

A1/4 = π r2 Ablank = 1/2 pi r2 +1/2 pi 4/9r2 =pi 13/18 r2

Aschraffiert = 5/18

 

 

 b = 20

 

h² = (20-x)² – 102 = (5+x)² – 5²

 

400 – 40x +x² -100 +25 + 10x + x² -25

300 = 50 x

x = 6

Aufgabe

In der Abbildung sehen Sie den rechteckigen Querschnitt eines Lüftungsschachts. Er beinhaltet drei Rohre, die sich gegenseitig berühren. Zwei Rohre sind kreisförmig mit gleichem Radius a. Ein Rohr ist halbkreisförmig. Berechnen Sie die Breite x des Lüftungsschachtes aus dem Radius a

Lösung:

(a - r)² + r²= (½ a + r)²

a²-2 a r + r² + r² =¼ a² + a·r + r²

r² - 3 a r + ¾ a² = 0

 

 

 

 

 

Gotische Fenster

Das gotische Fenster kann im wesentlichen auf zwei Halbkreise, einen Kreis und zwei Kreisbogen vereinfacht werden. Die drei Abschnitte der Strecke a sind gleich lang.

Drücken Sie die Basis a als Funktion des Radius r aus.

Lösung:

h² = (a-r)² – (½a)² = (⅓ a + r)²-(⅙ a)² → r = ¼a oder a = 4r

 

 

 

Aufgabe

Formulieren Sie r und r in Abhängigkeit der Quadratseitenlänge a so, dass A = A ist.

Lösung

A = A

¼ π r² = π r² → r = ½ r

√ 2 a = r + r + √ 2 r = 2r+r + √2 r = r(3+√2)

¾⁸₀₃⅙₁₂⅓⅔⁴⅕⅖⁻ ⁺⁶³

r= a( √2 +√3) → r = (3√2 - 2)a/7

 

Aufgabe 

Im Quadrat mit der Seitenlänge a sind drei Halbkreise einbeschrieben. Berechnen Sie die Radien dieser drei Halbkreise. Die Resultate sind in der Form ri = ki·a anzugeben. Welcher Prozentsatz der Quadratfläche wird durch die Halbkreise überdeckt? 

Lösung:

ru =½ a

 

Pythagoras

(½ a)² + (a - rs)² = (½ a + rs)²

¼ a² + a²-2a·rs+ rs² =¼a² +a·rs+rs²

-3a·rs=0 →rs =⅓·a

 

Pythagoras

(⅓ a)²+ (a -r = (⅓ a + r

1/9 a² + a²-2 a·r₀ + r²=1/9 a² +  a·ro + ro²

 - 8/3 ar=0 → ro = 3/8 a

Atot = ½ π a²+1/9 + 9/64)= 0,788125240 a² =78%

Aufgabe

Das Quadrat hat die Seitenlänge 2a. Drücken Sie den Radius x durch a aus.

Lösung:

 + ( 2 a - x)² = (a + x)²

 + 4 a² - 4a·x + x² = a² + +x²

4 a² = 6 a x

x = a