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hello wachstumsfunktion

Aufgaben zu den Wachstumsfunktionen

  • Zinseszins
  • Radioaktivität
  • Bevölkerungswachstum

Aufgabe 1

In einem Teich wachsen See-Algen. Sie wachsen so schnell das jeden Tag doppelt so viel Fläche bedeckt sind als am Vortag. Also wenn an einem Tag 1 m² bedeckt sind, sind am nächsten Tag 2 bedeckt u.s.w. Am 50.Tag ist der halbe See bedeckt. An welchem Tag ist der ganze See bedeckt?

Aufgabe 2

Zwei Kapitalien, die sich um 500 € unterscheiden, wachsen in 25 Jahren zu derselben Summe an. Das grössere Kapital wird zu 3%, das kleinere zu 4% zinsesverzinst. Wie hoch sind die Kapitalien?

Lösung: (x + 500)·1.0325 = x·1.0425

x= 500·1.0325/(1.0425 - 1.0325) = 1830,03861

kleines Kapital: 1830 €

grosses Kapital: 2330 €

Aufgabe  3

Das Wachstum einer Kaninchenpopulation kann durch die Funktion f(t) = 100 ·exp(0.35 t) (t in Monaten) beschrieben werden. Eine andere Art von Kaninchen vermehrt sich nach der Funktion g(t)=200·1.1t (t in Monaten)

Vergleichen Sie das Wachstum der beiden Populationen.

a) Wie gross ist die Zunahme in Prozenten pro Monat?

b) Zu welchem Zeitpunkt sind die beiden Populationen gleich gross?

Lösung:

Aufgabe 4

In Mexiko lebten 2015 ca. 121.01 Mio Einwohner und 2016 122.27 Mio.

a) Wie viele Einwohner wird das Land bei gleichem Wachstum 2026 haben?

b) Nach wie vielen Jahren wird Mexiko bei diesem Bevölkerungswachstum 140 Mio Einwohner haben?

Lösung: unkorrigierte lösung falsch

a) G = 115 Mio 1.0114210 = 128,8288744096  

b) 130 =115·1.01142x  →x = ln(130/115) ÷ ln (1.01142) = 10,7969401452  

c) 0.5 rsup 1/2.0648 = 0,7148396642 also 28.5%

Aufgabe 5

Am 11. März 2011 um 14:46:23 Uhr (Ortszeit) begann unter dem Meeresboden vor der Ostküste der japanischen Hauptinsel Honshū das Tōhoku-Erdbeben. Sein Epizentrum lag 163 Kilometer nordöstlich des Kraftwerks Fukushima I, sodass die Primärwellen (P-Wellen) des Bebens das Kraftwerksgelände nach 23 Sekunden erreichten. Sie regten dort Seismometer an, die eine Schnellabschaltung der Reaktoren 1 bis 3 auslösten. Gleichzeitig fiel die externe Stromversorgung des Kraftwerks durch Erdbebenschäden an dessen Schaltanlagen aus, und zwölf von dreizehn Notstromdieselgeneratoren starteten (einer an Block 4 war gerade in Wartung).

Das Beben dauerte ungefähr zwei Minuten lang und erreichte eine Stärke von 9,0 Mw. Es erschütterte die Reaktorblöcke 2, 3 und 5 mit Horizontalbeschleunigungen von 0.52 bis 0.56 g, 15 bis 26 Prozent mehr als bei der Auslegung der Blöcke angenommen. Die vorgesehenen Belastungsgrenzen der übrigen Reaktoren wurde nicht erreicht; trotzdem gibt es Hinweise auf Erdbebenschäden in Block 1. In Block 3 wurde vermutlich ein Reserve-Notkühlsystem beschädigt.

 

Fukushima 11.März 2011

 

137 Cs

134Cs

131I

Halbwertszeit

30.17 Jahre

2.0648 Jahre

8.02070 Tage

Intensität 30. März 2011

5900 Bq/l

5200 Bq/l

430 000 Bq/l

a) Wie gross war die Intensität von I-131 am 12. März 2011?

b) Wann ist die Intensität von I-131 und Cs-134 gleich gross?

c) Um wie viel Prozent nimmt die Intensität von Cs-134 pro Jahr ab?0.9283t

Lösung:

a) G= 430 kBq ·0.5 rsup -18/8.02 = 2037,4965 kBq

b) 430·0.5t/8.02  = 5.2·0.5t/(2.06·365)→ t = 51.64 d

Aufgabe 6

Von fünf Gramm einer radioaktiven Substanz A sind nach 250 Jahren 8.7% zerfallen.

a) Berechne die Halbwertszeit!

b) Wie viel Prozent sind nach 900 Jahren noch übrig?

c) Nach wie viel Jahren sind noch 64.3% der Substanz vorhanden?

Von der radioaktiven Substanz B mit der Halbwertszeit 250 Jahren sind acht Gramm vorhanden.

d) Nach welcher Zeit sind von beiden Substanzen gleich viel vorhanden?

Lösung:

a) 0.5 = 0.913 rsup t/250 → t = 250 ln (0.5) ÷ ln (0.913) = 1903,84

b) G = 100 % ·0.913 rsup 900/250 = 100 % · 0,720600898 = 72 %

c) 0.643 = 0.913 rsup t /250 → t = 250 ·ln (0.643) ÷ ln (0.913) = 1212,957244

d) 5 cdot 0.913 rsup t/250 = 8·0.5 rsup t/250 → t = 250 (ln 8 – ln 5 )/ (ln 0.913 -ln 0.5) = 195,14280

Aufgabe 7

Für bestimmte medizinische Untersuchungen werden Patienten eine Lösung eingespritzt, die ein bestimmtes radioaktives Iodisotop enthält. Die Menge dieses Iodisotops im Körper nimmt exponentiell ab.
Zwei Stunden nach der Verabreichung befinden sich noch 5 Einheiten des verabreichten Iodisotops im Körper, nach drei weiteren Stunde sind es noch 4 Einheiten.

a) Wie viele Einheiten des Iodisotops wurde eingespritzt?

b) Nach wie vielen Stunden befinden sich erstmals weniger als 0.01 Einheiten des Iodisotops im Körper des Patienten?

c) Wie gross ist die Halbwertszeit des Iodisotops?

Lösung: a = 0.81/3 = 0,928317 für 1 h

a) 5 = G·0.9283² → G₀ = 5.80220813

b) 0.01= 5 · 0.9283t → t = ln 0.002 ÷ ln 0.9283 = 83,5293 also 85.5 h ab Einnahme

c) 0.5 = 0.9283t → t = ln 0.5÷ ln 0.9283 = 9,316453

Halbwertszeit : T1/2 = 9.32 h


Aufgabe 8

Die Temperatur T in einem Ferienhaus fällt bei abgeschalteter Heizung exponentiell gegen die Umgebungstemperatur. Beim Verlassen des Hauses wird eine Innentemperatur von 22 °C und eine Aussentemperatur von 8 °C gemessen. Nach t = 5 Stunden beträgt die Innentemperatur noch 20 °C.

a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung .

b) Wie lange nach dem Verlassen des Hauses wird die Innentemperatur noch 16 °C betragen, wenn die Aussentemperatur während dieser Zeit konstant bleibt?

Lösung :

a) f(t) = 8 °C + 14 °C  ·(12/14)t/5h

b) 16 = 8°C + 14°C  ·(12/14)t/5h

8/14 (12/14)t/5h

t = 5h ·ln (8/14) ÷ ln(12/14) = 18,151583520

Aufgabe 9

Die Temperaturkurve des Kaffees hier in Deutschland und die Temperaturkurve des Kaffees im Eishotel in Lappland wird durch zwei unterschiedliche Exponentialfunktionen beschrieben.

T(t) ist die Funktion, die die Temperatur T des Kaffees (in °C) bei Dir zu Hause zum Zeitpunkt t (in Minuten nach dem Einschenken) angibt:

T(t) = 21 + 59·exp(-0.13·t)

T(t) ist die Funktion, die die Temperatur T des Kaffees (in °C) im Eishotel in Lappland zum Zeitpunkt t (in Minuten nach dem Einschenken) angibt:

T(t) = -5 + 100·exp(-0.13·t)

Analysieren Sie die beiden Temperaturverläufe und geben Sie eine mathematisch fundierte Aussage ab, nach welcher Zeit man den Kaffee in beiden Fällen trinken kann.  

Lösung:

 a)    i)    t = (ln 59 – ln 19) ÷ 0.13 =8,71614203645599= 8.72 min

        ii)     t = (ln 100 – ln 45) ÷ 0.13 = 6,14236689398 = 6.14 min

 

b)     t = (ln 41 -ln 26) ÷ 0.13 =3,503657912944 = 3.50 min

Aufgabe 1

Ein aus dem Kühlschrank genommenes Nahrungsmittel erwärme sich ungefähr nach der Formel:

    y(x) = 24 · ( 1 - 0.9·exp(– 0.75 x) )

Dabei ist y die Temperatur in °C und x die Zeit in Minuten ab der Entnahme.

a) Welche Temperatur herrscht im Kühlschrank, welches ist die Aussentemperatur?

b) Welche Temperatur hat das Nahrungsmittel nach 10 Minuten?

c) Vor welcher Zeit wurde das Nahrungsmittel aus dem Kühlschrank genommen, wenn es noch eine Temperatur von 17 °C besitzt ?

Lösung:

a) x = 0 y = 2.4°C

b) y = 24·(1 - 0.9 exp (-7.5)) = 23.98672

c) x = ln(24·0.9/7)÷0.75 = 1.50 min 

Aufgabe 10
In einem See nimmt die Helligkeit pro Meter Wassertiefe um 18 % ab. An der Oberfläche beträgt die Helligkeit noch 100 LUX (Lichteinheit). Wie viele Lichteinheiten sind es noch in 10 m Wassertiefe?
Lösung:

G = 100 LUX·0.8210 = 13,74480313 = 13.7 LUX

Aufgabe 11

Auf einem Teich wachsen zwei Algensorten. Sorte A bedeckt zu Beginn des Beobachtungszeitraums 3 m², Sorte B 7 m². Bei Sorte A verdoppelt sich die bedeckte Fläche in 3 Tagen, bei Sorte B in 5 Tagen.

a) Bestimmen Sie nach wie vielen Tagen die von beiden Sorten bedeckte Fläche gleich gross ist.

b) Bei ungehindertem Wachstum wäre der Teich nach 23 Tagen vollständig mit den beiden Algen bedeckt. Bestimme die Grösse des Teichs.

Lösung:

2t/3 = 7·2t/5    

15 ln 3 + 5 t ln 2 = 15 ln 7 + 3 t ln 2

t = 15·(ln7 - ln3) /2 ln2 = 9.167943160 = 9.17 Tage

15 Tage: Faktor 32 und Faktor 8

3 ·223/3+ 7 ·223/5= 609,56200 +169,760255449 = 779 m²

Aufgabe 12

Ihre Großeltern schenken Ihnen zum 18. Geburtstag 800 Euro. Sie wollen das Geld möglichst gewinnbringend anlegen. Sie erhalten von zwei Bankberatern ein Angebot.

Berater A:    „Bei jährlicher Verzinsung werden aus Ihren 800 Euro nach einem Jahr 828 Euro, nach zwei Jahren sind es bereits 856,98 Euro.“

Berater B:    „Bei uns vermehrt sich Ihr Kapital nach der Formel    f(x) = 1.028x , wobei x die Anzahl der Jahre bei jährlicher Verzinsung ist.“

Erstellen Sie eine mathematisch fundierte Analyse der beiden Angebote. Für welches Angebot entscheiden Sie sich und warum

Lösung:

a) f(x) = 800 cdot 1.035x

f(0) = 800

f(1) = 828

f(2) = 856,98

also Zinse-Zins

Zinsfuss ist 3.5 % statt 2.8 %

b) x = {ln 2.5} ÷ {ln 1.035} = 26,63525380 = 26.6 Jahre

Aufgabe 13 Schuldentilgung

Herr Huber möchte sich von seiner Bank 10000 leihen.

Vorschlag A: Das Geld wird mit 7% verzinst, er muss nach 10 Jahren die Schulden mit Zinseszinsen zurückzahlen.

Vorschlag B: Das Geld wird mit 7% verzinst. Er muss aber jedes Jahr einen Abtrag von 1000 vornehmen.

Für welchen Rückzahlungsmodus würdest du dich entscheiden?

Lösung:

A: G = 10000·1.0710 = 10000 ·1.96715135 = 19671 €

B: G = 10000 ·1.0710 – 1000 (1.079 + 1.078 + ... + 1) =10000 ·1.0710 – 1000 (1.07 10 -1) ((1.07-1) = 19617 – 13816 = 5855  also gesamthaft 15855 €

da (an + an-1 + .....  +a + 1) cdot (a - 1) =(an+1 -1) div (a-1)

Aufgabe  14

Bei der Untersuchung der Lunge muss man vollständig ausatmen und danach 5 Sekunden lang so tief wie möglich einatmen.

Bei zwei verschiedenen Personen lässt sich das einatmen durch die folgende Funktionen beschreiben:

L1(t) = 5 – 5 exp(-t)

L2(t) = 4 – 4 exp(-2.5 t)

Hierbei gilt: t ist die Zeit in Sekunden und L(x) ist das Lungenvolumen in Liter. Beschreiben und vergleichen Sie das jeweilige Einatmen. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im Sachzusammenhang.

Aufgabe 15

Eine Bakterienkultur A wurde mit ca. 1,8 Mio Bakterien angesetzt. Nach 8 Tagen wurde eine  Zunahme der Bakterienzahl um 14% festgestellt. 
Eine andere, von Viren befallene Kultur B wurde gleichzeitig wie A mit ca. 2.55 Mio Bakterien  aufgesetzt. Nach 6 Tagen werden noch ca. 1.79 Mio Bakterien gezählt. 
Nach welcher Zeit (Tage und Stunden) hat die Kultur B halb so viele Bakterien wie die Kultur A (unter  der Annahme von exponentiellem Wachstumsverhalten bei beiden Kulturen)?

Aufgabe 16

Bei der Weinerzeugung kann man während des Gärprozesses den aktuellen Alkoholgehalt des Mostes näherungsweise mit der Funktion

     A(t) = 100/(8+42 exp(c·t))

berechnen, t ist dabei die Dauer des Gärprozesses in Tagen mit t 0, b und c sind reelle Konstanten.

A(t) gibt den Alkoholgehalt in Volumenprozent an. Je nach den Gegebenheiten im Gärkeller variieren b und c. Bei der Rechnung kann auf die Mitführung von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie die Ergebnisse sinnvoll.

a) Der Traubenmost des Winzers Müller hat bereits zu Beginn des Gärprozesses im Keller einen Alkoholgehalt von 2,00 %. Nach 20 Tagen beträgt der Alkoholgehalt genau 8,46%. Bestimmen Sie damit die Werte b und c.

b) Nach 40 Tagen wird der Gärvorgang abgebrochen. Berechnen Sie den Alkoholgehalt des dann fertigen Weins. Ermitteln Sie den Alkoholgehalt, der sich nach sehr langer Zeit einstellen würde.

c) Im Herbst wird der junge Wein (Federweisser) ausgeschenkt, dessen Alkoholgehalt höchstens 10 % beträgt. Berechnen Sie, bis zu welchem Tag nach Beginn des Gärprozesses der Federweiße ausgeschenkt werden kann.  

Lösung:

a)

2 = 100/(8+b) → 16+ 2 b = 100 → b = 42

8,46 = 100/(8+42 exp(20·c)) → 67.68 + 355.32 exp(20·c) = 100 → c =-0.119866627912

b)

100/(8+42 exp(-0.12·20)) = 8.456355565 = 8.6 % nach 20 Tagen, Kontrolle

100/(8+42 exp(-0.12·40)) = 11.9783063 = 12 % nach 40 Tagen

100/(8+42 0) =12.5 = 12.5 % Grenzwert

c) 100/(8+42 exp(-0.12·t)) = 10 → t = 25.41

Federweißer ist die deutsche Bezeichnung für neuen Weisswein. Als Federweißer wird ein aus weißen Rebsorten gepresster Traubenmost bezeichnet, dessen Gärung gerade erst begonnen hat. Alle Zwischenstufen, vom weißen Traubenmost bis zum fast durchgegorenen Weißwein, können Federweißer genannt werden, allerdings muss der Federweiße im Verkauf in Deutschland einen Mindest-Alkoholgehalt von 4% haben.  

Höhenabhängigkeit des Luftdruckes

Der Luftdruck nimmt rasch mit der Höhe ab – in Meereshöhe um etwa 1 hPa je 8 Meter. Eine exakte mathematisches Beschreibung des Druckverlaufs ist wegen der Wetterdynamik und anderen Einflussfaktoren nicht möglich. Bei einer Standardatmosphäre (15°C auf Meereshöhe mit p₀ = 101325 Pa) kann der Luftdruck p für die Höhe über dem Meer H und mit H₀ = 8435 m über die barometrische Höhenformel angenähert werden. Für eine Dichte der Luft bei 0°C (ebenfalls auf Meereshöhe) ergibt sich H₀ = 7990 m ≈ 8 km.

 

Die Exponentialfunktion:    p(H) = p₀ · exp(-H/H₀) ergibt deshalb nur eine Annäherung an die wirklichen Luftdruckverhältnisse. 

 

Aufgabe 17

 Der Luftdruck p nimmt mit wachsender Höhe über dem Meeresspiegel ab. Misst man den Luftdruck in hPa und die Höhe in km , so wird der Zusammenhang annähernd durch die Funktion f(x) = 1013 hPa · exp( -x/8 km) beschrieben, wobei f(x) den Luftdruck und x die Höhe in km angibt.

Ein Mensch braucht einen Luftdruck von mindestens 483 hPa, um dauerhaft zu existieren. Der Kilimandscharo ist 5895 m hoch.

a) Kommentieren Sie die Besteigung des Kilimandscharos.

 

 

Aufgabe 18

Das Sierpinski-Dreieck ist ein 1915 von Wacław Sierpiński beschriebenes Fraktal – mitunter auch Sierpinski-Fläche oder -Dichtung genannt, welches eine selbstähnliche Teilmenge eines (meist gleichseitig dargestellten) Dreiecks ist. Teilt man das Dreieck in vier zueinander kongruente und zum Ausgangsdreieck ähnliche Dreiecke, deren Eckpunkte die Seitenmittelpunkte des Ausgangsdreiecks sind, dann sind die Teilmengen des Fraktals in den drei äusseren Dreiecken skalierte Kopien des gesamten Fraktals, während das mittlere Teildreieck nicht zum Fraktal gehört. Diese Aufteilung des Fraktals in skalierte Kopien kann in den äußeren Teildreiecken rekursiv fortgesetzt werden. Die fraktale Dimension des Sierpinski-Dreiecks beträgt:

D = log rsub 2 3 ≈ 1.58496

 

In mathematics the Vicsek fractal, also known as Vicsek snowflake or box fractal, is a fractal arising from a construction similar to that of the Sierpinski carpet, proposed by Tamás Vicsek. It has applications including as compact antennas, particularly in cellular phones.

The basic square is decomposed into nine smaller squares in the 3-by-3 grid. The four squares at the corners and the middle square are left, the other squares being removed. The process is repeated recursively for each of the five remaining subsquares. The Vicsek fractal is the set obtained at the limit of this procedure. The Hausdorff dimension of this fractal is:

D = log(5) over log(3) ≈ 1.46497.

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 3

Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe ab. Er sinkt jeweils auf die Hälfte, wenn die Höhe um 5,5 km zunimmt. Der Luftdruck auf Meeresniveau beträgt p0 = 1013 hPa. Welchen Wert hat er in 3100 m Höhe?

Lösung:    p = 685 hPa

Aufgabe 19

In einem Glas befindet sich heisser Tee mit einer Anfangstemperatur von 90.0 °C. Die Raumtemperatur beträgt 20.0 °C und der Tee kühlt sich mit der Zeit ab. Nach 14 Minuten beträgt die Temperatur des Tees 36.0 °C.

Annahme: exponentielle Abnahme

a) Erstellen Sie eine qualitative Skizze des Temperaturverlaufs.

b) Berechnen Sie die Temperatur des Tees nach 5 Minuten. c) Berechnen Sie die Zeit, bis sich der Tee auf 30.0 °C abgekühlt hat.

Geben Sie die Resultate auf 3 signifikante Stellen gerundet an.

 

Aufgabe 12

Zu welchem Zinssatz und wie lange liegt ein Kapital von anfänglich 50000.- am Zins, wenn bei Verkürzung der Anlagedauer um 1 Jahr der Endwert um 1900.15 verkleinert und wenn bei Verlängerung der Anlagedauer um 1 Jahr der Endwert im 1957.15 vergrössert wird?

Lösung:

t = 9 Jahre und p = 3%

Aufgabe 13 

Das Wachstum der Algenfläche auf einem See wird durch die Funktion

f(t) = 50 -40 cdot 0,92t     für    t≥ 0

in Wochen, f(t) in Ar modellhaft beschrieben.

a) Um wie viel Ar wächst die Fläche in der 4.Woche ?

b) Die Wasserfläche des Sees ist 1,5 ha groß. Wann sind 20% der Wasserfläche mit Algen bedeckt ? c) Nach wie vielen Wochen wächst die Algenfläche zum ersten Mal um weniger als 10 m² je Woche ?

Lösung:

a) In der 4.Woche wächst die Fläche um 21,34 - 18,85 = 2,49 Ar

b) Nach ca. 8,3 Wochen sind 20% des Sees mit Algen bedeckt.

c) Zum ersten Mal wächst die Algenfläche in der 44. Woche um weniger als 0,1

xx

Aufgabe 3

Die Wachstumsgeschwindigkeit einer Schimmelpilzkultur wird für t  0 modellhaft beschrieben durch die Funktion v(t) = 60 cdot e rsup {t-3} over (e rsup {t-3} + 3 ) rsup 2

t: Zeit in Tagen, v(t): Geschwindigkeit in

  1. a) Skizzieren Sie den Graphen der Wachstumsgeschwindigkeit v in einer quantitativen Skizze für 0  t  8.

  2. b) Zu welchem Zeitpunkt wächst die Schimmelpilzkultur am schnellsten? Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.

  3. c) Zu welchen Zeitpunkten wächst die Schimmelpilzkultur mit 3.75 cm3/Tag? Geben Sie die Resultate auf 3 signifikante Stellen gerundet an.