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Gleichungssysteme mit Parametern und Spezialfälle

Aufgabe 1

Berechnen Sie die Lösung für (x|y) in G ∈ R x R .

(I) 2 x + 5 y = 1

(II) 6 x + 7 y = 19

Lösung:    P(5.5/-2)

 

Aufgabe 2

(I) 5 x + 3 y = 4 m + n

(II) 3 x + 5 y = 4 m – n

Lösung:     x = ½(m+n)             y = ½(m - n)

 ∈ Aufgabe 3

Berechnen Sie die Lösung für (x|y) in R² mit Fallunterscheidung für alle Parameterwerte a  ∈  R.

(I) 3 x + 3 a y = 3

(II) 3 x + y = 1

Lösung:

x = (-1)÷(3 a - 1)

y= 2÷(3 a - 1)

a = ⅓  L = { }

Aufgabe 4

Berechnen Sie die Lösung für (x|y) in mit Fallunterscheidung für alle Parameterwerte b  ∈  R

(I) 2 x + 3 y = 3

(II) b x – 2 y = 1

Lösung:

x = 9÷(4 + 3 b)         y = (3 b - 2)÷(3 b + 4)

b = -4/3 → L = { }

Aufgabe 5

Berechnen Sie die Lösungen mit Fallunterscheidung für alle Parameter

(I)    2 x + 3 y = 2

(II)    b·x - 2 y = 1

 Aufgabe 6

(I)     -8 x + a·y = 2

(II)     4 x – 9y = 6

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems und untersuchen Sie anschliessend die Spezialfälle.

Lösung :

-8 x + a·y = 2

8 x -18 y = 12

also:    y= 14/(a-18)

-72 x + 9 a·y = 18

4 a·x -9ay = 6a

x = (18 + 6 a )/ ( 4 a - 72) = [3(3 + a)]/[ 2 (a - 18)]

a = 18 keine Lösung

Aufgabe 7

(I)     a·x + y = 3

(II)     x + 2 y = 4

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems und untersuchen Sie anschliessend die Spezialfälle.

Lösung :

2 a·x + 2y = 6

x + 2 y = 4

also:    x = 2 ÷ (2 a - 1)

 

a x + y = 3

a·x + 2a·y = 4 a

also:    y = (3 -4 a) ÷ (1 - 2 a)

 

a= ½ keine Lösung

Aufgabe 8

(I)     6 (x + y) – 41 x = 10

(II)     0.5 (x + a y) = 3 x + 2

a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge für a = 1

b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge und untersuchen Sie anschliessend die Spezialfälle.

Lösung :

-35 x +6 y = 10

-2.5 x + ½ a y = 2

 

a= 1

-35 x + 6y = 10

-2.5x + 0.5 y = 2

 

-35 x + 6y = 10

-30x +6y = 24

5x = 14 → x = 2.8 und y = 18

 

allgemein

-35x +6  y =10

-35 x +7ay =28

also:    y = 18 / ( 7a-6)

 

-35 a·x + 6a·y = 10 a

-30 x + 6 a·y = 24

also:    x = (24 - 10 a )/(35 a -30) = [2(12 - 5 a)]/[5(7 a - 6)]

 

Spezialfall :

a= 6/7 keine Lösung

Aufgabe 9

Für welche Werte der Parameter m und n hat das System

(I) 2 m·x + y= 3

(II) - x - y = n

a) genau eine Lösung?

b) unendlich viele Lösungen?

c) keine Lösung?

Visualisieren Sie die Lösung jeder Teilaufgabe

Lösung:

x = (3+n)÷ (2m -1)

y = (3 + 2 m·n)÷(1 - 2 m)

a) m ≠ ½

b) m= ½ und n = -3         L = {(x/y) / y = 3-x}

c) m = ½ und n ≠ -3

 Aufgabe 10

 6 x – y + 4 z     =    2           I

- x     + 3y – 2 z  =     7          II

3 x     + 2 y – z    =     2          III

Lösung:    x = -1;     y= 4    z = 3

 

Aufgabe 11

Bestimmen Sie die Parameter a und b so, dass die lineare Gleichung die Lösung x = ½ und y = - 5 besitzt.

x + a y = 1               (I)

b x + 2 y = 4         (II)

Lösung:

½  -5 a = 1

½ b  - 10 = 4

a = -  ⅟10        und    b = 28


Aufgabe 12

Der Stundenlohn eines Angestellten beträgt bei normaler Arbeitszeit Fr. 56.-. Wird die normale Arbeitszeit überschritten, so wird der Stundenlohn für die Überzeit erhöht.

Ein Angestellter bekam in einer Woche, in der er 50 Stunden arbeitete, Fr. 2935.- und in einer zweiten Woche bei einer Arbeitszeit von 57 Stunden Fr. 3516.- Lohn.

a) Wie gross ist die normale wöchentliche Arbeitszeit?

b) Wie hoch ist der Lohnzuschlag für Überstunden?

Lösung:        x: Normarbeitszeit

                       y: Überstundenlohn

56 x + (50 -x)·y = 2935

56 x + (57-x)·y = 3516

7 y = 581 →y = 83 (Überstundenlohn)

56 x + (50 -x ) 83 = 2935 50 · 83 -27 x = 2935 → x = 45 (Normarbeitszeit)


Aufgabe 13

Von 3 Zahlen ist die Zweite so gross wie das Doppelte der Summe der anderen beiden Zahlen. Weiter ist das 10-Fache der dritten Zahl gleich gross wie das 3-Fache der ersten Zahl. Schliesslich beträgt die Summe der 3 Zahlen 39. Wie lauten die drei Zahlen? 

Lösung:

x + y + z = 39

y = 2 ( x + z)

10 z = 3 x

Aufgabe 14

Vorbemerkung zu unserem Zahlensystem: die Zahl 34 besteht aus den Ziffern 3 und 4, ihre Quersumme ist 7.

Die Quersumme einer dreistelligen Zahl ist 15. Vertauscht man die zweite Ziffer mit der ersten, verkleinert sich die Zahl um 90. Vertauscht man von der ursprünglichen Zahl die zweite Ziffer mit der dritten, vergrössert sich die Zahl um 18. Bestimmen Sie die ursprüngliche Zahl rechnerisch.

Lösung:

x + y + z = 15

100 x + 10 y + z -[100 y +10 x +z] = 90

100 x + 10 y + z – [100 x +10z + y]= -18

 

x + y + z = 15

90 x -90 y =90

9 y -9 z = -18

 

x + y + z = 15

x - y = 1

y - z = -2

 

y= 4; z = 6 x = 5546; 456; 564

Aufgabe 15       Substitution

I    8/(x+4) - 9/y = 11/15

II    6/(x+4)-5/y =2/3

Lösung: x = 2 und y = 15

8 u -9 w = 1/15

6 u -5 w= 2/3

also u = 1/6 und w = 1/15

Aufgabe 16

Ein Händler kauft Restbestände an Büchern auf: 420 Bücher über Surfen und 155 Bücher zum Thema Hobbygarten. Total zahlt er für die 575 Bücher CHF 5010.-. Die Surfbücher verkauft er mit 40% 
Gewinn, die Hobby-Gartenbücher mit 20% Verlust. Nach dem Verkauf aller Bücher hat er einen 
Totalgewinn von CHF 888.- erzielt. Berechnen Sie mit Hilfe mehrerer Gleichungen, wie viel Geld er  im Verkauf für ein Surf- bzw. ein Hobby-Gartenbuch erhalten hat.
Lösung:

420 x + 155 y = 5010

420 · 0.4 x -155 · 0.2 y = 888

 

84 x + 31 y = 1002

168 x – 31 y = 888

 

252 x = 1890 → x = 210 over 24 = 60/8 = 7.5 → Verkauf 10.5 CHF

 

168 x + 62 y = 2004

168 x – 31 y = 888

 

93 y = 1116 → y = 12 → Verkauf 9.6 CHF

Aufgabe 17

Von drei Zahlen x, y und z kann man jeweils aus zweien das arithmetische Mittel (=Mittelwert) bilden.
lst es möglich, dass sich dabei jedes Mal der Mittelwert 45 ergibt, auch wenn die drei Zahlen x, y und z verschieden sind? 
Für die Beantwortung der Frage muss ein Gleichungssystem aufgestellt und gelöst werden.

Lösung :

x + y = 90 (I)

x + z = 90 (II)

y + z = 90 (III)

(I) – (II) y-z = 0 → y = z

(II) – (III) x-y= 0 → x = y

Aufgabe 18

Ein Vater ist heute gerade doppelt so alt wie seine beiden Söhne zusammen. Vor 2 Jahren war er viermal so alt wie der ältere, und vor 4 Jahren war er sechsmal so alt wie der jüngere. Wie alt sind der Vater und seine Söhne heute? Die Aufgabe ist mit Hilfe eines Gleichungssystems zu lösen.

Lösung:   

x - 2 y - 2 z = 0

x - 4 y=-6

x - 6 z =-20

Vater 58; Sohn 16, Sohn 13

Aufgabe 19 

Ein Bassin wird durch einen Zufluss gespeist und durch einen Abfluss entleert. Der Zufluss braucht doppelt so viel Zeit, das Bassin vollumfänglich zu füllen, wie der Abfluss Zeit benötigt, das Bassin vollständig zu leeren. Der Zufluss speist zuerst das Bassin 35 Stunden lang mit Wasser.

Anschliessend sind Zu- und Abfluss während 5 Stunden gleichzeitig geöffnet.

Nun sind 5/7 des Bassins gefüllt.

Welche Zeit würde der Zufluss allein benötigen, um das leere Becken vollständig zu füllen?

Lösen Sie die Aufgabe mit Hilfe einer entsprechenden Gleichung.

Lösung:

35 x + 5 (x - 2 x ) = 5/7 → x = 1/42 → Zufluss 42 h und Abfluss 21 h

Aufgabe 20

Lösen Sie mit einem Gleichungssystem: Ein Triathlet legt bei einem Wettkampf die insgesamt 51.5 km lange Strecke in 2 Stunden und 36 Minuten zurück. Seine mittlere Geschwindigkeiten beträgt beim Schwimmen 3.3 km/h, beim Rad fahren 28 km/h und beim Laufen 14 km/h. Für die Radstrecke braucht er genau doppelt so viel Zeit wie für die Laufstrecke. Berechnen Sie die Länge der Schwimm-, der Rad- und der Laufstrecke des Triathlons.  

Lösung: Schwimmstrecke x =1.510 km                   Radstrecke y = 39.992 km                            Laufstrecke z = 9.998 km

Aufgabe 21

Lösen Sie folgendes Gleichungssystem von Hand auf. Die Lösungschritte müssen ersichtlich sein.

I     s² – st – t² = 19

II     s - t = 7

Lösung:

(7 + t) ² -(7 + t)·t -t² = t²+ 14 t + 49 -7 t - t²  - t² = -t² + 7 t +49 = 19

0 =t²- 7 t -30 = (t - 10) ( t + 3)

t = 10 und s = 17

t=-3 und s = 4

Aufgabe 22 Fallunterscheidung

Geben Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems mit den Unbekannten x und y an. Für die Spezialfälle der Konstanten a E R skizzieren Sie die Graphen der beiden linearen Gleichungen und leiten daraus die Lösungsmenge des Systems ab.

I     a x + (1 – a) y = 1

II     x + 2 a y = 2

Lösung:

y = (2 a - 1) / {(2 a - 1) (a+1)} = 1 / ( a + 1)

x= 2 (2 a - 1)/{2 a -1) (a + 1)}=2 / (a + 1)

 

Fall a = -1

-x + 2 y  =1

x - 2 y = 2        keine Lösung, leere Menge

 

Fall a = ½

½ x + ½ y = 1

x + y = 2

Lösungsmenge {(x/y)Iy =2-x }

Aufgabe 23

Geben Sie die Lösungsmenge des nebenstehenden Gleichungssystems in der Grundmenge ₲ = ℝ × ℝ an.

2 x² – 3 x·y = 5

x² – 2 y² = 7

Lösung:         x1 = +5         y1 = -3               x2 = -5         y2 = -3

Aufgabe 24

a) Lösen Sie folgende Aufgaben grafisch und algebraisch

(I)    x + 2 y = 4

(II)    2 x  - y = 10

(I)    y - 2 x = -3

(II)    6 x - 2 y= 1

(I)     4 x+ y = - 5

(II)    2 y - x = 8

x

 

 b) Lösen Sie die folgenden Aufgaben mit dem Additionsverfahren.

(I)    4 x + y = -5

(II)    2 y - x = 8

(I)    11 x - 4 y= -5

(II)    3 x - 2 y = 2

(I)    2 x - 3 y = 32

(II)   2 x - 3 y = -2

x

 

Aufgabe 

Bestimmen Sie die Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von a (ohne Fallunterscheidung):

(I) a x – 2 y = -8

(II) - 4 x + 4 y = 5

 

Aufgabe

Bestimmen Sie die Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von a; führen Sie dabei eine Fallunterscheidung durch.

(I) 4 a x + 2 y = 6

(II) 2 x + a y = 3

 

Aufgabe

Zuerst betreten Anna und Beate das Gerät, es zeigt 132 kg an. Dann wiegen sich Beate und Cilla; zusammen kommen sie auf 151 kg. Nun sind Cilla und Anna an der Reihe, die zusammen ein Gewicht von 137 kg haben.  

Aufgabe

Die drei Freundinnen Anny, Jacqueline und Tamara haben für ein Hilfsprojekt Geld gesammelt.

 

Bevor sie alles Geld zusammenlegen und weitergeben wollen, machen sie folgendes Spiel: Anny gibt ihren beiden Freundinnen Jaqueline und Tamara je so viel Geld, dass diese anschliessend den doppelten Betrag besitzen. Anschliessend gibt Jaqueline Anny und Tamara je so viel Geld, dass diese anschliessend doppelt so viel Geld haben. Zum Schluss macht Tamara analoges wie Ihre beiden Freundinnen: Sie gibt Anny und Jaqueline je so viel Geld, dass beide den doppelten Betrag haben.

 

Wenn Tamara am Anfang dieses Spiels 42 Franken hatte und am Schluss auch wieder über 42 Franken verfügte, wie viel Geld hatten die drei Freundinnen gesammelt und konnten sie dem Hilfsprojekt insgesamt übergeben?