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hello wellen  & schwingungen

 

Fadenpendel

T = 2 π √ {l/g}

 

Federpendel

T = 2 π √ {m/D}

Aufgabe 1 

Hängt man einen Körper von 380 g an eine Feder, so schwingt das Federpendel mit einer Frequenz von 1.83 Hz. Berechnen Sie die Federkonstante der Feder. 

Lösung:     T = f-1 = 2π √ {m/D} → D = (2π·f)² · m = ω² · m = 50,2395236 N/m


Aufgabe 2

Das Pendel ist 758 mm lang und die Fallbeschleunigung hat den Wert 9.8 m/s². Berechnen Sie die Schwingungsdauer dieses Fadenpendels bei kleiner Amplitude.

Lösung: T = 2 π√ {0.758/9.8} = 1,747436 = 1.747 s

 


Aufgabe 3

Ein Pendel besteht aus einer Feder mit Federkonstante D = 83 N/m und einem Pendelkörper mit Masse m = 0.300 kg. Das Pendel wird um y0 = 5.7 cm ausgelenkt und ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen. Bekanntlich vollführt es dann eine harmonische Schwingung mit Bahngleichung y(t) =ˆy cos (!t + '0). Berechnen Sie die Zahlenwerte aller Parameter in der Bahngleichung

Lösung:

 


 

Aufgabe 4

In der Abbildung  ist eine harmonische Schwingung y = y0 ·sin(ω·t + φ) dargestellt.
a) Messen Sie möglichst genau Periodendauer, Amplitude und Anfangsphase aus heraus.
b) Wie gross ist die Kreisfrequenz dieser Schwingung?
c) Bestimmen Sie die maximale Geschwindigkeit der Bewegung. 

Lösung: a) Amplitude: y0 = 75 mm    T = 6.9 - 0.3/4 = 1.65 s 

 b) f = 1/1.65 = 0,60606060606060606060606060606061

 ω = 2π·f = 3,8079910952 s-1

φ = -ω·t = -3.808 · 0.3 = - 1,142397328 = -1.1423

v = y0 ω· = 75 mm · 3.807 = 285 mm/s        Kontrolle v= 150/ 0.8 i.0

 

y = 75 mm ·sin(3.808·t - 1.142)         Kontrolle t = 4s         y = 74,91658 korrekt

 

 

 

 

 

Tacoma-Narrows-Brücke

Die erste Tacoma-Narrows-Brücke wurde an gleicher Stelle bereits 1938–1940 ebenfalls als Hängebrücke erbaut. Sie wurde berühmt durch ihren spektakulären Einsturz nach nur vier Monaten Betriebszeit.

Die von Leon S. Moisseiff entworfene Brücke hatte damals nur zwei Fahrspuren und je einen schmalen Gehweg, hatte aber mit einer Hauptöffnung von 853 m zum Zeitpunkt ihrer Fertigstellung die drittgrößte Spannweite aller Hängebrücken weltweit (nach der Golden Gate Bridge und der George-Washington-Brücke).

Bald danach erhielt sie wegen ihres Auf- und Abschwingens den Spitznamen „Galloping Gertie“ und wurde zum Touristenmagneten. Manche Autofahrer kamen extra zum „Achterbahnfahren“. Andere nahmen lieber den Umweg über Olympia im Südwesten in Kauf, den die Brücke eigentlich ersparen sollte. Ende Juli 1940 wurde eine Kamera auf dem Dach des Mauthäuschens installiert, die Wellen im Brückendeck bis zu einer Amplitude von 60 cm bei 25 Schwingungen pro Minute registrierte. Allerdings zeigte die Brücke bei verschiedenen Windstärken ein völlig unterschiedliches Verhalten.

 

Einsturz der Brücke von 1940

Am 7. November 1940 kam aus südwestlicher Richtung, quer zur Brücke, Starkwind auf. Dadurch geriet die Brücke in einen anderen Schwingungsmodus und führte jetzt Torsionsschwingungen aus. Dabei handelte es sich um eine selbsterregte Schwingung, die keine Anregung mit einer bestimmten Frequenz erfordert. Der sich verwindende Fahrbahnträger konnte so durch seine sich ändernde Stellung im Wind diesem immer weiter Energie zur Verstärkung der Schwingung entnehmen, völlig unabhängig von der Frequenz einer Kármánschen Wirbelstraße, die nun bereits um den Faktor fünf über der der Fahrbahnschwingung gelegen hätte. Nach einer dreiviertel Stunde rissen bei einer Windgeschwindigkeit von 67 km/h (Windstärke 8) die Seile und die Fahrbahn stürzte mit einem verlassenen Auto und einem Hund in die Tacoma Narrows. Das Ereignis wurde von Ingenieuren der University of Washington gefilmt, die die Brücke aufgrund der Schwingungen bereits längere Zeit systematisch beobachteten. Als Ergebnis dieser Untersuchungen war bereits für die folgenden Tage die Ausstattung des Fahrbahnträgers mit Windabweisern aus Stahlblech vorgesehen gewesen.

Menschen kamen bei dem Unglück nicht ums Leben, da die Brücke schon einige Zeit vor dem Einsturz für den öffentlichen Verkehr gesperrt wurde. Das in dem Film vor dem Einsturz zu sehende Auto auf der Brücke gehörte einem der mit der Überwachung der Brücke befassten Sachverständigen, der, wie ebenfalls zu sehen ist, die Brücke kurz nach zwei anderen Personen zu Fuss verlässt.