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Aufgabe

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge wenn G = ℝ.

(x² – 5) ÷ x = 9 x ÷ (x² + 8)

Lösung: x₁₂ = ± √ 10

Aufgabe

Bestimmen Sie die Lösungen mit Fallunterscheidung:  2/(x-2) = t /(x-1).

Lösung:

D ∖ {2,1}

2 x - 2 = t x - 2 t →x = (2 - 2 t) / (2 - t)

Fall t = 2

2/(x - 2) = 2 / (x - 1) →x - 1 = x - 2 →  keine Lösung

Fall x = 2

2 = (2 - 2 t) / (2 - t)→4-2 t=2-2t → t existiert nicht

Fall x = 1

1 = (2 - 2 t)/(2-t) →2-t = 2 - 2 t →t=0

2/(x-2) = 0 →keine Lösung

Aufgaben.Bruchgleichungen 

 

Aufgabe 1

Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:

a)     1÷(x + 2) + 1÷(x + 2)²                                  Lsg:    (x + 3) ÷ ( x + 2)²

b)     1÷(x + 2) + 1÷(x² - 4)                                  Lsg:    (x - 1) ÷ (x² - 4)

c)     1÷(x - 1) + 1÷(x - 2)                                       Lsg:    (2 x - 3) ÷ (x² - 3 x + 2)

d)     1÷(x  -1) + 1÷(x - 2) + 1÷ (x²-3 x + 2)         Lsg:    2÷(x - 2)

e)     1÷(x - 1) + 1÷(x - 2) - 1 ÷ (x² - 3 x + 2)      Lsg:    2÷( x - 1)

Aufgabe 2

1 ÷ {x - 3} – 1 ÷ { x - 5}

1 ÷ { x - 3} – 1 ÷ { x - 5} – 1 ÷ {x² - 8 x + 15}

{x² - 8 x + 15} – 1 ÷ { x - 3 }

 

Aufgabe 1 Addition von Brüchen

1 ÷ 2(x - 1) – 1 ÷ (x - 1)

1 ÷ 2(x - 1) – 1 ÷ (x + 1)

1 ÷ 2(x - 1) – 3 ÷ 4(x² -1 )

1 ÷ {2(x - 1)} – 1 ÷ {x+1} - 3 ÷{4(x²-1)}

 

Aufgabe 2

Bestimmen Sie x.

a)     1÷(x-3) = 2÷(x-2)               Lsg.: x = 2

b)     1÷(2 x - 3) = 1÷(x-2)            Lsg.:x =1

c)     1÷(x² - 9) = 1÷(x - 3)         Lsg.: x = 4

d)     1÷(x + 2)+1÷(x-1) =½           Lsg.:    x= 4; x = -1

e)     1÷(x + 6) + 1÷ (x- 2) =    Lsg.:    x= -4, x = 6

 

Aufgabe 1

1 ÷ {5 x} + 1÷ { 3 x } = 1 ÷ 5

10 ÷ { x + 1 }- 1 ÷ { x - 3 }= 9 ÷ { x + 3 }

{4 x + 4 }÷{ 2 x - 1 } + { 3 x - 1} ÷{ 2 x + 1} = {14 x² + 4 }÷ {4 x² - 1}

3 ÷ { x + 2 } = 15÷ { 8 x - 8 }

1 ÷ {2 x} + { x + 2 } ÷ x² = 7 ÷ { 6 x }

1÷{ 2 x } - { x + 5 } ÷ { x² + 2 x} = 3 ÷ { 4 + 2 x }

1 ÷ { 2 x } - { x + 5 } ÷ { x² + 2 x} = 3 ÷ { 4 + 2 x }

6 ÷ {3-x} = 6 ÷ {6+x}

 

Aufgabe 3

f(x) = 1÷x

g(x)= x³

a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt.

b) Für welche x-Werte ist g(x) > f(x)

 Lösung:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichungen/Ungleichungen:

a)    1/x = 2/(x+1)

b)    1/x ≥ 2/(x+1)

 

Lösung:

a) 1/x = 2/(x+1)→2x=x+1 →x = 1    Schnittpunkt der beiden Grafen

 

b) 1/x -2/(x-1) ≥0→

 

Gleichnamig machen, ein Bruchstrich

(1-x)/(x·(x+1)) ≥0

Fall Nenner und Zähler positiv

x <= 1 und x > 0  also 0<x<= 1

x<= 1 und x< -1 also x < -1

 

Fall Nenner und Zähler negativ

x>=1 Nenner wird immer positiv, also leere Menge

Zusammenfassung:

 0<x<= 1 und x < -1

 

f(x) = 1 ÷ x   und g(x) = 2 ÷ (x+1)

 f(x) - g(x) = (1-x) ÷ (x(x+1))

 

 

Textaufgaben

Aufgabe 1

Läufer A benötigt für eine 25 km lange Strecke 30 Minuten mehr, als Läufer B für 15 km braucht. Die Geschwindigkeit von A ist um 2.5 km/h grösser als die von B. Berechne die Laufzeit von A.


Aufgabe 2

Ein Bruch hat den Wert 18/17 . Welche Zahl muss man vom Zähler subtrahieren und zum Nenner addieren, damit sein Wert 3/2 wird?


Aufgabe 3

Ein leeres Schwimmbecken kann durch die Zuflussleitung in 15 Stunden gefüllt werden. Ist das Becken voll, so dauert es 20 Stunden, um das Wasser wieder ablaufen zu lassen. Das Becken ist leer. Die Besitzerin will es füllen, vergisst jedoch, den Ablauf zu schliessen. Wie lange dauert es, bis das Schwimmbecken trotzdem voll ist?


Aufgabe 4

Zum Entladen eines Getreideschiffes benötigen zwei Fördergebläse drei Stunden. Das eine Gebläse arbeitet doppelt so schnell wie das andere. Wie viele Stunden benötigt jedes Gebläse alleine?


Aufgabe 5

In einem Braunkohletagebau haben zwei Bagger zusammen 85 Tage benötigt, um die Erde über der Braunkohle zu entfernen. Der kleinere der beiden schafft 40 % der Leistung des grösseren. Wie viele Tage hätte jeder Bagger benötigt, wenn er jeweils allein gearbeitet hätte?  

Aufgabe 6

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung mit G = R:    (2 x² + 3 x - 8) ÷ (x - 2) = x + 5 + 6 ÷ (x - 2)

Lösung:

2 x² + 3 x - 8 = x² - 2 x + 5 x - 10 + 6

 = 4 → x = + 2  (Schein) ;  x= -2

Aufgabe 8

Brigitte hat für 48 € Stoff gekauft. Sie hätte zwei Meter mehr erhalten, wenn ein Meter Stoff 2 € billiger wäre. Wie viel Meter Stoff hat sie gekauft?  

Lösung: 8 € und 6 m

Aufgabe 9

Giovanni ist ein Händler mit Herzblut. Er findet im Internet ein spezielles Reinigungsmittel und kauft sofort für CHF 1600.- ein.

Da der Verkauf gut läuft, kauft er drei Wochen später nochmals für den gleichen Betrag ein. Der Preis pro Flasche „Superblitz“ ist inzwischen um ein Franken gesunken, weshalb er 80 Flaschen mehr erhält. Wie viele Flaschen hat er beim ersten Mal eingekauft?

Lösung:

Anfangspreis 5 sfr ergeben 320 Flaschen

Endpreis         4 sfr ergeben 400 Flaschen

Aufgabe  10

Wenn man im Nenner des Bruches 15÷29 eine Zahl subtrahiert und die gleiche Zahl im Nenner des Bruches 20÷13 addiert, so erhält man zwei Brüche mit dem gleichen Wert. Wie heißt die gesuchte Zahl?

Lösung:

15 ÷{ 29 – x }= 20 ÷ {13 + x} → x = 11

 

Aufgabe 11

Nina und ihr älterer Bruder Patrick wollen sich gemeinsam eine Playstation 4 kaufen. Im Angebot kostet diese 400 €. Da Patrick älter ist, will er 320 € der Kosten übernehmen und diese ansparen. Derzeit sind beide pleite, sodass sie mit dem Sparen anfangen müssen. Patrick kann 30 € mehr im Monat sparen als Nina. Wie viel Geld spart Nina im Monat, wenn beide nach der gleichen Anzahl der Monate das Geld zusammen haben? Wie lange müssen sie dann sparen?

Lösung:

320 ÷ {x+30} = 80 ÷ x→ x = 10

also 10 € für Nina und 40 € für Patrick

Aufgabe 12

Verdoppelt man bei einem Bruch mit dem Wert 2 over 3 den Zähler und vermindert den Nenner um 6, so verdreifacht sich der Wert des Bruches. Wie lautet der ursprüngliche Bruch?

 

.Aufagbe 13

Vermehrt man bei einem Bruch mit dem Wert 3 over 4 den Zähler um 4 und den Nenner um 3,so verhält sich der Wert des neuen Bruchs zu dem des alten Bruchs wie 16 zu 15. Wie lautet der ursprüngliche Bruch?

 

Aufgabe 14

In einer Klasse verhält sich die Anzahl der Mädchen zur Anzahl der Buben wie 2 zu 3. Während des Schuljahres treten zwei Mädchen aus und eine Junge kommt neu in die Klasse. Nun verhält sich die Anzahl der Mädchen zur Anzahl der Buben wie 1 zu 2. Wie viele Schüler zählt die Klasse am Schuljahresende?

 

Aufgabe 15

Hans hat in der Geldbörse doppelt soviel Geld wie Otto. Nachdem Hans an Otto 6,-DM abgibt, verhält sich der Geldbetrag von Hans zu dem von Otto wie 5 zu 4. Wieviel Geld hatte Otto ursprünglich?

 

Aufgabe 16

Der Nenner eines Bruchs ist um 4 kleiner als der Zähler. Vermindert man den Nenner um 7, so verhält sich der Wert des alten Bruchs zu dem des neuen wie 4 zu 5. Wie lautet der ursprüngliche Bruch?

 

Aufgabe 17

Der Flächeninhalt eines Rechtecks beträgt 144 cm² . Verlängert man eine Seite um 3 cm und halbiert die andere Seite, so verringert sich der Flächeninhalt um 48 cm² . Wie ändert sich der Umfang des Rechtecks?

 

Aufgabe 18

Der Flächeninhalt eines Rechtecks beträgt 144cm² . Verlängert man eine Seite um 3 cm und halbiert die andere Seite, so verhält sich der neue Flächeninhalt zum alten wie 5 zu 8. Wie groß ist der neue Flächeninhalt?  

Aufgabe 5

Die Summe zweier Zahlen beträgt 250. Dividiert man die grössere durch die kleinere, so erhält man 3 Rest 2. Wie heissen die beiden Zahlen?

Lösung:

{250 -x} ÷ x = 3 + 2 ÷ x → x =62

also: 62 und 188

 

Aufgabe 4 

Der rasende Vertreter Herr Huber fährt zu einem Kunden zunächst 80 km Ausserorts und dann noch 150 km Autobahn im Abendverkehr. Die durchschnittliche Geschwindigkeit auf der Autobahn ist dabei 30 km/h höher wie auf der Landstrasse. Insgesamt benötigt Herr Huber lange 3 Stunden. Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit auf der Landstrasse?

Lösung:

80 ÷ x + 150 ÷{x+30} = 3

3 x² – 140 x – 2400 = ( 3 x + 40)·(x - 60) = 0

also 60 km/h und 90 km/h

 

Aufgabe 6

Ein Sportflugzeug eines Kurierdienstes fliegt vom Stützpunkt aus ein 180 km entlegenes Dorf an. Bei Gegenwind der durchschnittlichen Stärke von 25 km/h braucht es 12 Minuten länger als bei Windstille.

Wie gross ist die durchschnittliche Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs?

Lösung:

180 ÷ {x-25} – 180 ÷ x = 1 ÷ 5

0 = x² – 25 x -22500 → x1 = -138 km/h und x2 = 163 km/h

also 163 km/h und 138 km/h

180 ÷ 163 = 1.104 h

180 ÷ 138 = 1.304 h