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hello gerade

 

Treffen sich zwei Geraden. Sagt die eine: "Beim nächsten Mal gibst du einen aus."

Jede Gerade, die nicht parallel zur y-Achse ist, ist der  Graph einer linearen Funktion

    f(x) =a·x + b,

wobei a und b reelle Zahlen sind. Die zugehörige Geradengleichung lautet dann

    y = a·x+b

Die Parameter a und b der Geradengleichung haben eine geometrische Bedeutung.

Die Zahl a ist dieSteigung der Geraden und entspricht der senkrechten Kathete des Steigungsdreiecks , dessen waagrechte Kathete die Länge 1 aufweist.

Die Zahl b ist der y-Achsenabschnitt, das heißt die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0,b).

 

Aufgabe 1     TALS

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABS, wenn gilt: ex = ey = 1 cm.

Lösung :

g: y = -⅓ x + 3

x = 6 ergibt A(6/1)

h: y = + 5/3 x - 1

Schnittpunkt :

-⅓ x + 3 = +  5/3 x – 1

4 = 2 x also x = 2             x = 2 ergibt S(2/2⅓)

A = ½ ·8 ·4 = 16

 

 

Aufgabe

Berechnen Sie die schraffierte Fläche. Die Achsenschnittpunkte sind exakt.

Lösung:

g1:    y = -¾ x + 6

g2:   y = 2 x -2

P(2/4.5)

Q(2/2)

-3x + 24 = 8x -8 → x = 32/11

A = ½ ( 4.5 - 2) (32/11 - 2) = ½ 5/2 12/11 = 15/22

 

Aufgabe 2       Punkt auf der Geraden

Liegt a) der Punkt P (−2| − 3) b) der Punkt P (3|3)

auf dem Graph der Geraden, die durch die Gleichung y = 2 · x - 3 beschrieben wird?

Lösung: a) -3 = 2·(-2) - 3 false  nein                 b)    3 =2·3-3        ja

Ein Punkt auf der Geraden erfüllt die Funktionsgleichung der Geraden.

Aufgabe 3     Gerade durch zwei Punkte

Suchen Sie die Gerade durch P und Q:    P (-6 | 3); Q (-2 | 4)

Lösung: Die beiden Punkte müssen die Funktionsgleicung der Geraden erfüllen

3 = a· (-6) + b        (I)

4 = a·(-2) + b         (II)

(II) -(I)

1 = 4·a → a = ¼    (III) in (II) einstzen

4 = ¼·(-2) + b →b= 4.5

also y = ¼ x +4.5

Aufgabe 4         Gerade mit bekannter Steigung durch einen Punkt

Die Gerade g geht durch den Punkt P(-4; 4) und hat die Steigung  a = -2

Wie lautet die Geradengleichung?

Lösung:

a  = -2 einsetzen :        y = - 2 x + b

 P (-4; 4) einsetzen:    4 =- 2 (-4) +b→ b = -4

also     y = -2 x - 4

xx

Aufgabe 5  Senkrecht Geraden

Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichun g: g(x) = y = ¾ x − 1.

Gesucht ist die Gleichung der Orthogonalen durch den Punkt P(2 / −2) ?

Lösung:

Bedingung für senkrecht: a · ¾ = -1 → a = - 4/3

P einsetzen

-2 = 4/3·2 + b → b = -

 also y = -4/3 x  -⅔

Aufgabe 6        Schnittpunkt bestimmen

Bestimmen Sie den Schnittpunkt beider Geraden und zeichnen Sie diese in ein Koordinatensystem

    g(x) = x + 1

    g(x) =½ x + 3

Lösung:

 x + 1 = ½ x+3        links und recht mit 12 multiplizieren

4 x +6 = 3 x +18          alle x auf eine Seite Rest auf die andere Seite

x = 12

y=  · 12 + 1 = 9

y= ½ · 12 +3 =9

Schnittpunkt:    S(12/9) 

Aufgabe 7

Berechnen Sie jeweils den Schnittpunkt der beiden Geraden:

a)    f(x) = ¼ x + 1 und g(x) = ⅓ x + 2         b)    f(x) = 0.05 x + 20 und g(x) = 0.15 x + 15  

Lösung:         a) S(-12/-2)             b)S(50/22.5)

Aufgabe 8

Gegeben sind die Punkte P1(−1|0) und P2(6|7) als Punkte einer Geraden g1 und eine Gerade g2 mit dem Punkt P3(−2| +1) und der Steigung m = 2.

Bestimmen Sie den Schnittpunkt beider Geraden und der Abstand des Schnittpunktes vom Koordinatenursprung.  

Lösung:

y= x + 1

y = 2 x + 5

S(-4/-3)

d = 5

Aufgabe 9     ZP

In einem Koordinatensystem ex = ey sind die beiden Geraden g₁: y = - ½ x + 4 und g₂: y = a x - 5 gegeben.

Berchnen Sie die Steigung a so, dass sich die beiden Geraden g₁ und g₂ auf der Winkelhalbierenden w des zweiten Quadranten schneiden. (w : y = -x)

Lösung:

(I)    y = -x

(II)    y = - ½ x +4

(III)   y = a x - 5

(I) und (II) ergeben x = -8

x = -8 in (I) und (III) ergibt a = -13/8 

Aufgabe 10

Eine Gerade h mit Definitionsmenge Dx = { x ∈ℜ | − 2 ≤ x < 8 }verläuft durch den Punkt Q(2/3) und hat eine Nullstelle bei x = 6.

(a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung h(x).

(b) Berechnen Sie den positiven Winkel α mit der x-Achse

(c) P(4/p) soll unterhalb von h(x) liegen. Welche Bedingung muss p erfüllen?

Lösung:   a) y = -¾ x + 4.5        b) α = arc tg (¾) → α = 36.869 = 36.9°        c) p < 1.5

Aufgabe 11

Der Graph g einer linearen Funktion mit Dx = { x ∈ℜ | − 2 ≤ x <9 }geht durch die Punkte A (-2/14) und B (3/7).

(a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung g(x).

(b) Bestimmen Sie die Länge der Strecke, welche von der Geraden g im ersten Quadranten liegt.

(c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der senkrechten Geraden zu g(x), welche durch den Koordinatenursprung führt.

Lösung:     a) 14 = -2 a + b und 7 = 3 a + b         y = - 1.4 x + 11.2

                    b) x = 8

                    d² = 11.2² + 8² =189.44 → d = 13.763720 = 13.8

                    c)     5/7 x = -7/5x + 11.2 →   x= 5.297297297 = 5.297

                             y = 3.78378378= 3.784

 

 

 

 

Aufgabe 12

Von zwei Geraden f und g sind folgende Angaben bekannt:

• Die Geraden f hat die Steigung m = 1 und geht durch den Punkt P = (4/5.25).

• Die Geraden f und g schneiden sich auf einem Punkt der x-Achse.

• Die Gerade g schneidet die y-Achse im Punkt Q = (0/5).

a) Berechnen Sie die Funktionsgleichung der beiden Geraden f und g.

b) Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Geraden.

Lösung:     f(x) = x + 1.25         g(x) = 4 x + 5

                    arc tg(4) = 75.963° Schnittwinkel 30.96°

Aufgabe 13

Gegeben ist das Koordinatensystem mit der Geraden f, die durch die Punkte P(0/-1) und Q(5/2) geht:

a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden f .

b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden g , welche den y-Achsenabschnitt 3 und die Nullstelle 6 hat und zeichnen Sie die Gerade ins gleiche Koordinatensystem.

c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, welche die beiden Geraden f und g mit der y-Achse bilden.

Lösung:     a) f(x) = 0.6 x – 1                 b) g(x) = - 0.5 x +3

                         c) S(3.636/1.182)              A = 0.5 · 4 · 3.636 = 7.272

Aufgabe 14

Berechne den Schnittpunkt der beiden Diagonalen AC und BD des Vierecks ABCD mit

A(6|2), B(1|7), C(-3|-1) und D(4|-2).

Lösung:

AC: y = x

BD y = -3 x + 10

 

 x = - 3 x + 10

x = 3; y = 1

Aufgabe 15

A (-2|-1);  B (6|-3);  C (-2|5)  sind Eckpunkte eines Dreiecks. Berechnen Sie für dieses Dreieck die Gleichungen (a) der Geraden durch die Punkte A und B, (b) der Höhengeraden durch den Punkt C.

Lösung:

a) y = - ¼ x – 1.5

b) y = 4 x + 13

xx

Aufgabe 16

Irene möchte einen Handyvertrag abschließen und kann zwischen zwei Vertragsversionen wählen. •

•Tarif A: Monatliche Grundgebühr 6,50 Euro, jede Gesprächsminute kostet 24 Cent

•Tarif B: Monatliche Grundgebühr 11,50Euro, pro Gesprächsminute werden 19 Cent

berechnet.

a) Berechnen Sie, bei welcher Gesprächsdauer beide Tarife zum gleichen monatlichen Rechnungsbetrag führen!

b) Irene meint, dass sie pro Tag 5 Minuten das Handy benutzt. Welchen Tarif sollte sie wählen?

Lösung:

a) 6.5 + 0.24 x = 11.5 + 0.19 x → x = 100

b) x = 150 min

Aufgabe 17

Armin sieht sich die Tarife des Telefonanbieters "Billigsurf" an.
Tarif A: Grundgebühr 10 € / Monat, die ersten 30 Stunden frei, dann 0.4 €/ Stunde.
Tarif B: Grundgebühr 8 € / Monat die ersten 10 Stunden frei, dann 0.2 €/ Stunde.
Für welche Gesprächsdauer ist Tarif B aum günstigsten?

Lösung:

B günstiger für x<20 oder x >40

A günstiger für 20 < x < 40

Aufgabe 18

Frau Haller hat die Auswahl zwischen zwei Stromtarifen, bei denen jeweils die Kosten linear mit dem Energiebedarf ansteigen. Der Prospekt nennt pro Tarif zwei Beispielwerte, die die Kosten bei einem bestimmten Energiebedarf zeigen:


 

 

 

a) Von einem dritten Tarif (Tarif III) ist bekannt, dass:

- bei einem Energiebedarf von 50 kWh die Kosten nach Tarif III um 0.50 CHF höher als nach Tarif I ausfallen.

- bei einem Energiebedarf von 100 kWh die Kosten nach Tarif III um 0.20 CHF niedriger als nach Tarif II ausfallen.

Bei welchem Energiebedarf ist welcher Tarif für Frau Haller am günstigsten?

b) Visualisieren Sie die drei Tarife für einen Energiebedarf zwischen 0 und 160 kWh mit

einer quantitativen Skizze.

Aufgabe 19

Der Gewinn eines Produkts verhält sich wie folgt:

Beim Verkauf von 100 Stück entsteht ein Verlust von CHF 2000.--

Beim Verkauf von 300 Stück entsteht ein Gewinn von CHF 3000.--

a) Berechnen Sie die Funktionsgleichung? (y: Gewinn; x: Stückzahl)

b) Ab welcher Verkaufsmenge macht man Gewinn?

 

Aufgabe 20

Der Erlös pro Stück beträgt CHF 8.--

Ab 20 Stück wird ein Mengenrabatt von 25% auf alle Exemplare gewährt.

a) Stellen Sie die Erlösfunktion grafisch dar.

b) Ab wie viel Exemplaren kauft der Kunde besser gerade 20 Stück?

Lösung:

b) zwischen 15 und 20 sind 20 Stück am günstigsten.

Aufgabe 21

In einem kartesischen Koordinatensystem mit gleich skalierten Achsen ist das Dreieck ABC mit den Punkten A(−1|−2) , B(5|1) und C(1|7) gegeben.

a) Berechnen Sie die Gleichung der Geraden, auf der die Schwerlinie sa liegt.

b) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Seite b mit der Geraden g: y = x.

Aufgabe 22

Eine Gerade hat in einem kartesischen Koordinatensystem mit gleich skalierten Achsen einen Steigungswinkel von 40° und geht durch den Punkt P(2|− 3) .

Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden in der Grundform.

Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.