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 Extremalprobleme von Parameter

In der Mathematik ist ein Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Oberbegriff für ein lokales beziehungsweise globales Maximum oder Minimum. Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle x , in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt. Die zugehörige Stelle x wird lokaler Maximierer/Minimierer oder Extremstelle (Maximalstelle / Minimalstelle) genannt, die Kombination aus Stelle und Wert Extrempunkt.

 

Ein globales Maximum wird auch absolutes Maximum genannt, für ein lokales Maximum wird auch der Begriff relatives Maximum gebraucht. Lokale und globale Minima sind analog definiert.

 

Die Lösung einer Extremwertaufgabe, für eine einfache Darstellung siehe Kurvendiskussion, nennt man die extremale Lösung.

 

Zielfunktion muss extrem sein

Nebenbedingungen

Aufgabe 1

Unter dem Graphen der Sinusfunktion wird ein Trapez gemäss Skizze einbeschrieben.

Berechnen Sie x so, dass der Inhalt der Trapezfläche maximal wird.

Es sind alle Lösungen für x] 0 ; π [ zu suchen.

Runden Sie Ihre Resultate auf 3 sign. Stellen.

Lösung:

A = 0.5 · (x₂-x₁) · (y₁+y₂)= 0.5 cdot (x-0.3) ·(sin(0.3)+sin(x))

 

Aufgabe

Aus einem Blech der Länge a und der Breite b soll eine Dachrinne (Länge a) hergestellt werden, die maximales Wasservolumen aufnehmen kann.

(a) Die Dachrinne wird V-förmig gebogen. Welcher "Knickwinkel" ist zu wählen? Welches maximale Volumen ergibt sich?

(b) Die Dachrinne wird rechtwinklig gebogen. Welches maximale Volumen ergibt sich?

(c) Vergleichen Sie die Ergebnisse mit einer halbkreisförmig gebogenen Dachrinne!

Lösung:

a) A = ½ (½b) (½b) sin(α)

α = 90°

also:    A = ⅛ b²

b) Ziege

A =¼ b·½b = ⅛ b

c)

π·r =b

A =½ π r²

A = b²/{2π}

Aufgabe 4 

Gegeben ist die Funktion:

f(x) = x³ – x² -17·x - 15

Bestimmen Sie die Nullstellen sowie die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion (lokale Extrema).

Lösung:

Nullstellen: x = -3;  x₂ = -1;  x₃ = 5

Extrema

(-2.07/7)

(2.74,-48.5)

.Aufgabe 1

Sie begrenzen eine rechteckige Fläche an einer Mauer mit einem 15 m langen Zaun. Wie gross wird die maximale Fläche?

Lösung:

Zielfunktion: A = x · y

Nebenbedingung: y + 2 x = 15 → y = 15 -2 x

A = x· (15 - 2 x )  = - 2 x² + 15 x → xmax = -½{b/a} = -15/-4 = 3.75

x = 3.75; y = 7.5

Amax= 28.125 m²


Aufgabe 2

Ein Paket in Form eines Quaders soll mit einer Schnur gebunden werden. Das Volumen des Paketes muss 2592 cm³ gross sein. Es soll die Bedingung y = 2 x gelten. Um den Knoten anzubringen, braucht man 20 cm Schnur. Wie gross sind die drei Dimensionen x, y und z des Paketes, wenn die Länge der Schnur minimal sein soll? Wie lang ist die kürzeste Schnur?  

Lösung:

y = 2 x

V = x·y·z = x·2·x ·z = 2 x²·z

l = 20 + 2 x+ 2 y + 4 z = 20 + 6 x+4 z= 20+ 6 x + 2 V / x²

dl/dx = 6 - 4 V/x³ = 0 für Extrema

also gilt:  4 V = 6 x³

also x = 3, wurzel2/3 V = 12        z = 12         x= 6 √ 3     y = 12 √3

BMS: grafische Lösung mit TR

 

 

 


Aufgabe 3

Aus einem rechteckigen Karton mit den Seitenlängen l = 40 cm und b = 25 cm ist durch Ausschneiden von Quadraten der Seitenlänge x an den Ecken und anschliessendes Aufbiegen der Seitenwände eine quaderförmige, oben offene Schachtel herzustellen. Wie groß muss x gewählt werden, damit das Volumen der Schachtel maximal wird? Wie gross ist dieses? Wie gross ist dabei der Abfall (das ist die Fläche der ausgeschnittenen Quadrate) absolut und relativ zur ursprünglichen Kartonfläche?  

Lösung:         V =x (40 - 2 x)·(25 - 2 x) = (1000 -130 x +4 x²)·x = 1000 x -130 x² +4 x³

dV/dx = 1000 - 260 x + 12 x² → (260 ± 140)/24 = 16.667 oder    5   (korrekt)

V = 5 · 30 · 15 = 2250

Abfall    4 x² = 100    10%

Aufgabe

Aus einem Stück Draht der Länge  = 60 cm soll ein Kreissektor geformt werden. Wie gross muss der Radius r gewählt werden, damit die grösstmögliche Sektorfläche entsteht?

Lösung:    ℓ = 2 r + α r → α =( ℓ - 2 r ) / r

 A = ½ α r² = ½ (ℓ - 2 r) /r  · r² = ½ ( - 2 r) ·r

dA/dr  = ½  -  2 r    = 0 → r = ¼ 


Aufgabe 4

Aus einem quadratischen Blech der Seitenlänge l soll durch Ausschneiden von quadratischen Ecken der Länge x und Aufbiegen der entstehenden Seitenwände ein auf einer Seite offenes Kleingehäuse in der Form eines quadratischen Prismas hergestellt werden. Wie gross sind die auszuschneidenden Ecken zu wählen, damit das Volumen maximal wird? Man gebe auch die Gehäuseabmessungen und das Volumen an.  

Lösung:

 l = 1

V = abc

c + 2 b = 1 → c = 1-2b

2 a + 2 b = 1 → a = 0.5 - b

V = b (1 - 2b)·(0.5 -b) = 2b³ – 2b² + 0.5 b

dV/db = 6b² – 4 b + 0.5

b =½= 0.5

b=  = 0.1666

b=  = 0.1666

c =  = 0.6666

a= ⅓ = 0.3333

 

¾⁸₀₃⅙₁₂⅓⅔

V =1/27

 

 

 


Aufgabe 5

Gegeben ist ein gleichschenkliges Trapez mit den Seitenlängen a = 6 cm, c = 2 cm und der Höhe h = 4 cm. Dem Trapez wird ein Rechteck einbeschrieben. Eine Seite des Rechtecks liegt auf der Trapezseite a und je eine Ecke auf den Trapezschenkeln. Wie sind die Länge und die Breite des Rechtecks zu wählen, damit das Rechteck möglichst grossen Flächeninhalt?

Lösung:

H = 6 Ergänzungsdreieck

6 over 6 = 6 -b ÷ l → l = 6-b

A = l b

A = l b = (6-b) b         Scheitelpunkt:     b = 3     und     l = 3     A = 9

Aufgabe 6

P(u/v) sei ein beliebiger Punkt auf der Parabel mit der Gleichung y = - ½ x² + 2  mit − 2 ≤ x ≤ 2 .

Gemeinsam mit den Punkten A(-2/0) und B(u/0) bildet er ein Dreieck ABP.

a) Bestimme P so, dass das Dreieck ABP den grösstmöglichen Flächeninhalt hat. Wie gross ist der maximale Flächeninhalt ?

b) Für welchen Punkt P ist im Dreieck ABP die Summe der Kathetenlängen maximal?

Lösung:

a)    

 A = ½ · (u + 2) · (2 - ½ · u²)= - ¼ u³ - ½ u² + u +2

dA/du= - 3/4 u² - u +1

D = 1 + 3 = 4 → D = 2

x₁= 1 + 2 /-1.5 = 2

x₂= 1 -2/-1.5 = ⅔ = 0,6667

 

b)

Kathete a: u + 2

Kathete b: 2 - ½u²

s= u + 2 + 2 – ½ u²

ds/du = 1 - u → u = 1

Aufgabe 7

Dem oberhalb der x-Achse liegenden Segment der Parabel y = −2x² + 1 werden Rechtecke so einbeschrieben, dass eine Seite der Rechtecke auf der x-Achse liegt. Wie gross sind die Koordinaten der rechten oberen Ecke des Rechtecks mit maximalem Umfang?

Lösung: u(x) = 2 x + 2 x + ( 1 – 2 x²) +(1 – 2 x²) = 4 x – 4 x² +2

du/dx = 4 - 8 x → x= 0.5 und y = 0.5 also P (0.5 / 0.5)

Aufgabe 8

Im Intervall [0,π] soll dem Graphen von f(x) = 3·sin(x) ein Rechteck ABCD so einbeschrieben werden, dass die Strecke AB auf der x-Achse und die Punkte C, D auf dem Graphen von f liegen und der Umfang maximal ist.

Lösung:    

Hohe: h = 3 sin(x);             Länge:     l = π - 2x            

u = 6 sin(x) + 2·(π - 2x) = 6 sin(x) + 2π -4x

du/dx = 6 cos(x) -4 → cos x =  → x = 0.8410686 Bogenmass

 A(0.841/0); D(0.841 / 2.236)

Aufgabe 9

Welcher Punkt auf der Parabel p: y = 0.5 x² hat den kleinsten Abstand vom Punkt P(6/0) ?

Lösung:

d² = (x-6)² + (y-0)² = (x-6)² + (½x²)² = (x-6)² +¼ x

(d²)`= 2 (x-6) + x³ = 2 x - 12 + x³= x³ + 2x – 12 → x = 2 (erraten)            

y = 0.5 x² = 0.5 · 4 = 2 also P(2/2)

d² = 16 + 4 =20 also d = √ 20 = 4,47213 = 4.47

Aufgabe 10

Welcher Punkt auf der Parabel p: y = - x² + 4 x hat den kleinsten Abstand vom Punkt P(7/0)?

Lösung:     = (7-x)² + (0-y)² = (7-x)²+(0+x²-4x)²

 

 

 

 

 

 

 

 


Aufgabe 11

Ein Blech der Breite b soll durch Hochbiegen der seitlichen Enden zu einer trapezförmigen Dachrinne mit möglichst grossem Querschnitt verformt werden. Unter welchem Winkel müssen die Enden abgebogen werden, wenn auf beiden Seiten je ein Stück Blech der Breite b hoch gebogen wird?

Lösung:

A = ⅓·⅓·b·sin(x) + ½·⅓· b·cos(x)·sin(x) + ½ ⅓b⅓b cos(x) sin x

Graphik:

 

 

 

 

α = 60°

Aufgabe 12

Pfadfinder Eine Gruppe von Pfadfindern soll aus zwei Stangen der Länge 2 m und zwei Stangen der Länge 4 m ein Tor für den Eingang zu ihrem Lagerplatz zimmern. Die 2 m-Stangen werden als Pfosten und die 4 m-Stangen als Dach eingesetzt. Wie muss der obere Öffnungswinkel α gewählt werden, wenn das Tor eine möglichst grosse Durchlassfläche (Querschnittfläche) haben soll?

Lösung:

x: Halber Öffnungswinkel

A = 2 2m 4m sin x +2 ½ 4m sin x 4m cos x = 16 sin x + 16 sin x cos x

dA/dx = 16 cos x + 16 cosx cos x – 16 sin x sin x = 16 cos x + 16 cos x cos x – 16(1-cos x cos x )

= 16 cos x + 16 cos x cos x + 16 cos x cos x – 16

= 16(2 cos x cos x + cos x -1)

cos x = -1 ±√ {1+4 · 2 · 1} over 4 = -1 +-3 ÷ 4 = -1 oder ½

cos x = -1 → x = 180 ° Minimum

cos x = ½ → x = 60° Halber Öffnungswinkel

Aufgabe 13

Aus vier gleich langen Balken der Länge 2 m wird der Querschnitt eines Gartenhauses aufgebaut.
Wie gross werden die Breite b und die Höhe h des Dachstockes, wenn die Querschnittsfläche des Hauses maximal werden soll, und wie gross wird diese Querschnittsfläche? (Hinweis : Der Nachweis für das Maximum muss nicht erbracht werden !)

 

Lösung:     A = 2 b +½  h·b

                    h² + (½ b)² = 2²

                   4 h² + b² = 16

                    A = 2 b + ½ b ½ sqrt{16 - b²}

                   dA/db = 2 + ¼ √{16-b²} + ¼ b (-2b) (½) 1 over  {16 - b²}

 

                   0 = 2 √ {16 -b²} +¼{16-b²} - ½ b2

 

 

 

Lösung:

x: Halber Öffnungswinkel

A =2 2m 2m sin x +2 ½ 2m sin x 2 m cos x = 8 sin x + 4 sin x · cos x

dA/dx = 8 cos x + 4 cosx ·cos x – 4 sin x ·sin x = 8 cos x + 4 cos x cos x – 4(1-cos x cos x )

= 8 cos x + 4 cos x cos x + 4 cos x cos x – 4

= 4 (1 cos x cos x + 2 cos x -1)

cos x = -2 +-sqrt {4+4· 1 · 1} over 2 = -1 +-sqrt 2 = -1 oder 1/2

cos x = -1-√ 2 →

cos x =-1 + √ 2 → x = 72,811°     Halber Öffnungswinkel

Aufgabe 14

Gegeben ist eine regelmässige Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Quadratseite misst 10 cm und die Pyramidenhöhe 12 cm. In die Pyramide wird nun ein Quader gestellt. Der Quader besitzt zwei quadratische Seiten - eine davon liegt in der Grundfläche der Pyramide. Die Ecken der zweiten quadratischen Quaderseite liegen auf den Kanten der Pyramide. Wie ist die Quadratseite und die Höhe des Quaders zu wählen, damit er maximales Volumen hat?

Lösung:

12 ÷ 10 = 12-h / s → 12s = 120 – 10 h → h = 12-1.2 s

V = s² (12 - 1.2 s) = 12s² – 1.2 s³

dV/ds = 24 s – 3.6 s² → s = 0 und s = 24/3.6 =20/3 =6.66

h = 12 – 8 = 4 

 


Aufgabe 8

Die Oberfläche eines Zylinders beträgt  O = π. Wie gross ist das maximale Volumen?

Lösung:

O = 2 π·r ·h  +2 π r² = π → h  = (1 - 2 r²)÷(2r)

V = π r² h

V =π r² h  =  πr²(1 - 2 r²) ÷ (2r )=  ½ π r- π r³ 

dV/dr =  ½π - 3 π r²→ r = √{}

h = (1 - 2r²) ÷ (2r) = {} over 2 √{} = 2 over √ 6 = 2 ·√{} = 2 r 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Aufgabe 15

Die Oberfläche eines Kegels beträgt  O = π. Wie gross ist das maximale Volumen?

Lösung:

A = π = π·r² + π·r·s      1 = r² + r·s    s = (1 - r²) 

h² = s² - r² = (1-2 r² + r4)/r² -r² = (1-2r²)/r²

V = π r²· h = πr² √ {1-2 r²} div r = π r √{1-2 r²} 

f(x) = r √ {1 - 2 r²}        df/dx = (1 -4r² ) ÷√{1-2r²} → r = ½

 

 

 

 

Aufgabe 10

Es sind der Radius r und die Höhe h jenes

    a) offenen

    b) geschlossenen zylindrischen Kessels

mit V = 58 l Inhalt zu bestimmen, dessen Materialkosten minimal sind.

Lösung:

V = π·r²h → h = V/{π·r²}

a) A = πr²+2πrh

A = πr² + 2π r V /πr² = π·r² + 2 V / r

dA/dr = 2π·r – 2 V/r² → 2π·r³ – 2 V = 0 → r =3. Wurzel (V/π) = 2,642972

h = 2,6429746

h = r

 

 

 

 

 

 

 

 

V = πr²h → h = V/π·r²

a) A = 2π·r²+2π·r·h

A = 2π·r² + 2π r V /π·r² = π·r² + 2 V / r

dA/dr = 4π·r – 2 V/r² → 4π·r³ – 2 V = 0 → r =3. Wurzel (V/2pi) = 2,097728965

h = 4,19545

h = 2 r = d

 

 

 

 


Aufgabe  16      Zylinder in Kugel

 

Lösung:

4 R² = h² + 4 r²

V = π r² h = ¼ π (4 R² - h² ) h

dV/ dh = 4 R² - 3 h² → h = (2/√ 3) R

r = √{}  R        h = r √2


Aufgabe    17    Kegel in Kugel

Lösung:

r² = R² - h²

V = π r² htot =π·(R² - h² ) (R + h)

dV/dr = R² - 2 h R -3 h² =0

r = -R            V = 0

r = ⅓ R

 

 

 

Aufgabe 18

Bestimmen Sie die maximale Fläche bei einem Umfang von u = 4 m

Lösung:

u = 2 r + π r + 2 h

A = 2 r·h + ½ π·

 


Aufgabe 19    eth

Bestimmen Sie die Höhe der Pyramide, bei der das Pyramidenvolumen minimal wird. Für den Radius der Kugel gilt: R = 1

Lösung:

Pythagoras

r: Radius der Grundfläche

x: Abstand der Pyramidenspitze zum Berührungspunkt auf dem Mantel.

h² +r² = m²        m= r +x        x² = (h - 1)² -1 ² = h²-2 h

h² + r² = r² + 2 r x + x²

h² + r² = r² +2r √{h²-2 h} + h² -2h

2 h =2r √{h²-2 h}

r² = h²/(h²-2 h) = h/(h-2)

 

V = ⅓π r² h = ⅓ π h/ ( h - 2) h = ⅓π h²/(h-2)

ableiten

2 h (h - 2) -h² =h²-4 h = 0 → h = 4 und r = 2

Aufgabe 20

Ein Behälter aus Blech, dessen Fassungsvermögen 600 l beträgt, soll die Form eines Zylinders mit unten angesetzter Halbkugel haben (vgl. nebenstehende Figur).

a) Wie ist die Form des Behälters zu wählen, d. h. in welchem Verhältnis stehen Radius r und Höhe h, wenn ein Minimum an Blech verbraucht werden soll?

b) Wie hoch sind die Materialkosten, wenn 1 m² 101,80 CHF kostet?

c) Wie viel Blech benötigt man, wenn der Behälter aus einem gleichseitigen Zylinder mit angesetzter Halbkugel besteht? Um wie viel erhöhen sich dabei die Materialkosten?  

Aufgabe

Ein gerader Halbzylinder (vgl. Skizze) hat eine Oberfläche von 200 cm². Berechnen Sie den Radius so, dass sein Volumen möglichst gross ist.

Oberfläche Halbzylinder: halber Zylinderboden + halber Zylinderdeckel + halber Zylindermantel + Rechteck

Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lösung:

Zielfunktion:    V = ½ π· h

Nebenbedingung:    A = 200πrh + π· + 2rh

Maximum

r = 4.61 und A = 188

Aufgabe 13

Eine Konservenfabrik will zylindrische 1-Liter-Dosen mit minimalem Blechverbrauch (minimale Oberfläche) herstellen. Wie müssen Basiskreisradius x und Höhe h des Zylinders gewählt werden?

Lösung:

A = 2π·r·h + 2 π·r²

V =π·r²·h

A =2 π r 1/(π·r²) + 2 π· r² = 2 /r + 2π r²

A`=-2/r² + 4π r = 0 r =nroot 3 1 ÷ 2π = 0.542 dm und h = 1.08 dm, A = 5.54 dm²


Aufgabe 14 

Der Lampenschirm besteht aus sechs kongruenten, gleichschenkligen Trapezen ABCD. Bei jedem dieser Trapeze stehen die Längen der parallelen Seiten im Verhältnis AB : CD = 2 : 1. Die Gesamtlänge aller 18 Kanten beträgt 3.51 m. Die Gesamtfläche des Lampenschirms soll den grösstmöglichen Wert annehmen. Berechnen Sie aus diesen Angaben die Länge der Basis AB.

Runden Sie Ihr Resultat auf 3 sign. Stellen.

Lösung :

x = CD

AB = 2 x

k² = h² + (½ x)² h² = k² – (½ x)²

m = 3/2 x

3.51 = 18 x + 6 k → k = (3.51 - 18 x)/6

A = 6 3/2 x·h = 9 h x

A = 9 x √{((3.51-18 x)/6² -(½x)²}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion mit f(x) x = - x² + 4         , x ∈ ] -2;2[

Dem Schaubild wird ein achsenparalleles Rechteck einbeschrieben, wobei der Punkt P einer der Eckpunktes des Rechtecks ist.

Wie müssen die Koordinaten des Punktes P gewählt werden, damit

a) der Umfang des Rechtecks maximal wird ?

b) der Inhalt des Rechtecks maximal wird ?  

Lösung:

a) u = 4 x + 2 y = 4 x + 2 (-x² + 4) = - 2 x² + 4 x  + 8        Scheitelpunkt xs = 1

Scheitelpunkt xs = 1; ys = 3

b) A = 2x y = 2 x·(-x²+4) = -2x³ + 8x

dA/dx = - 6 x² + 8 → x = √ {4÷3}= 1,15470

y = 2 = 2.66666

 

Aufgabe 2

P(u/v) sei ein beliebiger Punkt auf der Parabel mit der Gleichung f(x) – ½ x² + 2 mit − 2 ≤ x ≤ 2 . Gemeinsam mit den Punkten A(-2/0) und B(u/0) bildet er ein Dreieck ABP.

a) Bestimme P so, dass das Dreieck ABP den größtmöglichen Flächeninhalt hat. Wie groß ist der maximale Flächeninhalt?

b) Für welchen Punkt P ist im Dreieck ABP die Summe der Kathetenlängen maximal ?

Lösung:

a) g= x + 2        h = v = -½ x² +2

A = ½  g·v = ½ ·(x + 2) (-½ x² +2) = ¼ x³ +x + ½ x² +2

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = -x² + 4 x, x ∈

Ihr Schaubild ist die Kurve K. Die Punkte O(0/0), Q(a/0) und der Kurvenpunkt P(a/f(a)) mit 0 < a < 4 bilden ein Dreieck. Wie muss a gewählt werden, damit der Inhalt des Dreiecks OPQ maximal wird ? Gib den maximalen Flächeninhalt an.  

 Lösung:

A = ½ · a (-a² + 4a) = -½ a³ + 2 a²

dA/da = -3/2 a² + 4 a = ½ a (-3 a + 8) → a = 0 und a = 8/3

 

 


Aufgabe 17

Die folgende Figur ist aus einem Rechteck und zwei rechtwinkligen Dreiecken zusammengesetzt.

a) Wie lang und wie breit muss das Rechteck sein, wenn der Flächeninhalt der Figur 100 cm² ist und der Umfang minimal sein soll ?

b) Wie lang und wie breit muss das Rechteck sein, wenn der Umfang der Figur 50 cm ist und der Flächeninhalt maximal sein soll ?

Lösung: a) 100 = b(l+ ½b)  →  l = (100 -½b²)/b       u = 2 l +2 b √ 2

 a) 100 = b·( l + ½b)→ l = (100 - ½b²)/b

u = 2 l +2 b√ 2 = 2(100 - ½ b²)/b +2 b √ 2

b = 10.46

l = 4,3302294

 

 

b) 

50 = 2 l + 2 b √ 2 → l = 25 – b √ 2

A = b · l + b²/2 = b ( 25 – b √ 2) + b²/2

dA/db = 25 -2 √ 2 b + b → b = 25/(2 √ 2 -1) =13,6729

l = 5,663522

 

 

 

 

Aufgabe

Ein gerader Kreiskegel hat eine Mantelfläche von 1000 cm².
Berechnen Sie die Länge der Mantellinie s so, dass das Kegelvolumen maximal wird.
Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.

Lösung:

M = π r·s

h² + r² = s²

V = π (M/{π s})² · √ { s² – (M/{πs})² }

s = 23.5 cm    und    V = 3690 cm³

Aufgabe 2 4 P

Aus einem 120 cm langen Draht ist das Kantenmodell eines Quaders herzustellen, so dass eine Kante dreimal so lang wie eine andere und der Rauminhalt maximal ist.

Wie lang sind die Kanten zu wählen?

Lösung:

Zielfunktion

V = l b h

Nebenbedingungen:

l = 3 b

120 = 4 l + 4 b + 4 h

also:

V = 3 b·b ( 30 - 4 b)

Maximum

b = 5 und V = 750

Aufgabe 3     Hinweis: vgl Optik

Vor dem Start der nächsten Etappe der Wüstenrallye steht das Team vor folgendem Problem:

Der Startort liegt mitten in der Wüste und ist 50 km vom Zielort entfernt. Der direkte Weg zum Ziel führt durch den Wüstensand. Dort kann das Fahrzeug des Teams eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 60 km/h erreichen.

In 30 km Entfernung vom Standort führt allerding eine schnurgerade Karavanenstraße zum Zielort. Dort könnte das Fahrzeug eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/hfahren.

Welche Route wird das Team wählen, wenn es jede Route zwischen Startort, Straße und Zielort fahren kann?

Lösung:

t = √ (30² + x² } ÷ 60 + {40 – x }÷100

x = 22.5 km

t = 0.8 h

Aufgabe

Gegeben ist ein kartesisches Koordinatensystem mit gleich skalierten Achsen und die Funktion

f(x) = -3√x + 10

 Eine Tangente t an den Graphen der Funktion schneidet die x-Achse in A und die y-Achse in B.

Berechnen Sie die Gleichung der Tangente t so, dass die Flache des Dreiecks ABC maximal wird.

Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.

Lösung:

Schnittpunkt von y = ax +b und f(x) = -3 sqrt x + 10

D = 9 – 4a (b – 10) = 0 → a = 9÷{4(b-10)}

A = b·(-b÷ a) = - b²÷a

A = 4/9 ·b²(10 - b)· ½

max für : b = 6.67, A = 32.9 , -b/a = x= 9.9766

xxx

Einem Halbkreis mit r = 10 cm ist ein Trapez gemäss Skizze einbeschrieben,

overline BC  2 x cm

und overline AD  x cm

.

Berechn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

en Sie x so, dass die Fläche des Trapezes möglichst gross wird.

Lösung: