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 Wärmeleitfähigkeit

P = λ · A ·Δ T ÷ 

 

Wärmewiderstands

Rth =  ÷ {λ·A}

P = λ·A ·Δ T÷  =  Δ T ÷Rth

Serie: Rges = R₁ + R₂

 

Wärmeübergangskoeffizient

P = γ · A ·(T₁ – T₂)

 

Wärmedurchgangskoeffizient

P = U· A (ϑi – ϑe)= k·A ( ϑi – ϑe)

 

P:      Wärmestrom

A:      vom Wärmestrom durchflossene Querschnittsfläche

:        Dicke der Schicht

λ:      spezifische Wärmeleitfähigkeitγ

α, γ:       Wärmeübergangskoeffizient

k, U : Wärmedurchgangskoeffizient

ΔT:   Temperaturdifferenz zwischen den Randflächen der Schicht mit der Dicke 

Aufgabe 1

Wie gross ist der Wärmestrom PQ durch ein 1 m² grosses Fenster mit einfacher, 4 mm dicker Verglasung (Wärmeleitfähigkeit λ = 1 W/(mK)), wenn die Temperatur an der Innenseite 20°C und an der Aussenseite 5 °C beträgt?

Hinweis: Wärmeübergangskoeffizient nicht berücksichtigt

Lösung:

Der Wärmestrom PQ durch das einfach verglaste Fenster kann direkt mit Hilfe der Wärmeleitungs-Formel berechnet werden. Mit A = 1 m² , λ = 1 W/(mK), l = 4 mm und ΔT = 20°C – 5° C = 15 K folgt: PQ = 3750 W

Der Wärmestrom ist mit 3750 W sehr hoch. Man würde eine ebenso hohe Heizleistung benötigen, um den Wärmeverlust zu kompensieren, andernfalls würde die Temperatur im Zimmer absinken.

Aufgabe 2

Wie gross ist der Wärmestrom PQ durch ein A = 2 m² grosses Fenster mit doppelter Verglasung (Dicke der Scheiben je 4 mm, Wärmeleitfähigkeit λ = 1 W/(mK)), zwischen denen ein 1 cm breiter Luftspalt mit einer Wärmeleitfähigkeit von λ = 0.025 W/(mK) liegt? Die Temperatur an der Innenseite beträgt wiederum 20 °C und an der Aussenseite 5 °C .

Hinweis: Wärmeübergangskoeffizient nicht berücksichtigt

Lösung:

Bei einem Wärmestrom durch ein doppelt verglastes Fenster sind die einzelnen Wärmewiderstände in Reihe geschaltet; es addieren sich somit die einzelnen Wärmewiderstände. Alle Widerstände haben die gleiche Querschnittsfläche A1 = A = A = 2 m², zudem sind die Schichtdicken  =  = 4 mm sowie die Wärmeleitfähigkeiten λ = λ = λ = 1 W/(mK) der beiden Glassscheiben identisch. Mit der Schichtdicke  = 1 cm des Luftspalts und dessen Wärmeleitfähigkeitλ = 0.025 W/(mK) folgt für den Gesamtwiderstand:

Für den Wärmewiderstand gelten die gleichen Formeln wie für den elektrischen Widerstand.

Rges = R + R + R = 2 R + R = 2· (  ÷ {λ ·A} ) +  ÷ {λ₂· A}

Rges = 2 · ( 0.004÷{1·2}) + 0.01 over {0.025 · 2}  = 0.204 K /W

Für den Wärmestrom gilt damit:

PQ = {Δ T} ÷ Rges = 15 ÷0.204  = 73.5 W

Obwohl das Fenster eine doppelt so grosse Fläche A hat wie das einfach verglaste Fenster im letzten Beispiel, ist der Wärmestrom in diesem Fall erheblich geringer. Aus diesem Grund werden inzwischen fast nur noch doppelt (oder sogar dreifach) verglaste Fenster in Häuser eingebaut.

Aufgabe 3

Die Aussenwand eines Hauses bestehe aus zwei Schichten Ziegeln mit jeweils 10 cm Dicke sowie einer isolierenden Schicht aus Glaswolle der Dicke 3 cm.

Wie gross ist der durch eine Wandfläche von 16 m² durchtretende Wärmestrom bei 20 °C Innen- und 0 °C Aussentemperatur ?

Werte für die Wärmeleitfähigkeit: Ziegelmauerwerk: 0.76 W/(K m) Glaswolle: 0.046 W/(K m)

Lösung:

Rth = ℓ ÷ {λ·A}

Rz = 0.1/0.76 16 = 0,008223684210526 =

Rw = 0.03/0.046 16 = 0,04076086956521739= 

Rtot = 0,008223684210 + 0,04076086956521+0,00822368421 = 0,0572

P = Δ T ÷Rth = 20/0,0572 = 349,650349650349= 350 W

Aufgabe 5

Ein massiver Kupferstab von 1.8 cm² Querschnitt wird am oberen Ende geheizt und auf der konstanten Temperatur 600 K gehalten. Das untere Ende taucht in schmelzendes Eis. Die freie Stablänge zwischen Heizung und Eis beträgt 10 cm.

Wie viel Energie fliesst in dieser Anordnung in 15 Minuten durch den Stab hindurch?

Lösung: 0°C = 273 K Hochreines Kupfer: λ = 400 W/(mK)

 P = λ · A {ΔT} ÷  = 400 { W ÷ {m·K}} ·  1.8·10 rsup -4 cdot {(600 K - 273 K) over {0.1 m}} = 235.44 = 235 W

Aufgabe 6

Eine Hauswand besteht innen aus einer Isolierplatte von 6 cm Dicke mit der Wärmeleitfähigkeit λ = 0.071 W/(m·K), aussen aus der 12 cm dicken, tragenden Betonwand mit λ₂ = 1.17 W/(m·K).

a) Welche Temperatur herrscht an der Berührungsfläche der Isolier- und der Betonplatte, wenn die Oberflächentemperatur der Innenwand + 18 °C, diejenige der Aussenwand - 12 °C ist?

b) Welche Energie geht in jeder Sekunde durch 1 m² dieser Wand nach aussen?

c) Welche Dicke müsste eine äquivalente Wand aus Ziegelmauerwerk mit λ2 = 0.70 W/(m·K) bei denselben Oberflächentemperaturen besitzen?

Lösung:

Rges = R + R  = (  ÷ {λ · A} ) +  ÷ {λ ·A}

Rges = ( 0.06÷{0.071·1} ) + ( 0.12÷{1.17·1} ) = ( 0,8450 + 0,1026 ) K /W = 0.9476 K/W

PQ = {Δ T}÷ Rges = 30 ÷ 0.9476  = 31.7 W

a) Elektrizitätslehre Serie: also – 8.75 °C

30·{0.1026÷0.9476} = 3.248 °C

Dampfsperre wegen dem Taupunkt.

c) R  = ℓ₂÷ {λ₂·A₂} → ℓ₂ = R ·  {λ₂} = 0.9471 · 0.70 = 0.66297 = 0.66 m

 Aufgabe 7

Welche Wärmeleistung muss ein nackter Mensch aufbringen, der sich in einem Raum von 20°C befindet, um den Konvektionswärmeverlust auszugleichen? Die Oberfläche des Menschen sei ca. 1,5 m², der Wärmeübergangskoeffizient γ= 6

W/(m²·K)

Lösung: Beim Mensch beträgt die Oberflächentemperatur ungefähr 33 °C

 P = γ· A ·(T – T) = 6  {W ÷ { m²·K}} · 1.5 m²· ( 33 °C - 20 °C) = 117 W

Aufgabe 8

Im Wärmeaustauscher eines Atomkraftwerkes umspült flüssiges Natrium der Temperatur 677.4 °C Rohre von 1 mm Wanddicke, in denen Helium von 600 °C zirkuliert. Wie gross sind die Wärmeübergangszahlen aussen und innen sowie die Wärmeleitzahl, wenn die Wandtemperaturen aussen 675.8 °0, innen 669,8 °C und der Wärmefluss 134,16 kW/m² (115 000 kcal/m² h) betragen?

Lösung:

P = λ · A ·Δ T ÷ ℓ

λ = 0.001 · 134160 / 6= 22,36

Chromstahl

P = γ · A ·(T₁ – T₂)

aussen:

γ = 134610/1.6 = 84131,25 Natrium

γ = 134610/69.8 = 1928,5 Wasserstoff

Aufgabe 9

Eine frei aufgehängte Metallkugel von 10 cm Durchmesser empfängt durch Sonnenstrahlung pro Stunde 2 kcal. Welche Temperatur erreicht sie, wenn die Aussentemperatur t1 = 15 °0 und die Wärmeübergangszahl α = 5.25W/(m²·K) beträgt?

Aufgabe 10

In einem Prüfgerät zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit einer 50 cm x 50 cm grossen und 6 cm dicken Baustoffplatte wird einerseits durch elektrische Beheizung eine konstante Oberflächentemperatur von 85 °C hergestellt. Die andere Oberfläche wird gekühlt, indem je Minute 5 1 Wasser von 18 °C durch eine Kühlplatte strömen. Wie gross ist die Wäm1eleitzahl λ, wenn sich das Wasser auf 20 °C erwärmt?

Lösung:

P = 5 2 4200/60 = 700 W

P = λ · A ·Δ T ÷ ℓ

λ = P ℓ / A Δ T = 700 0.06 /0.25 66 =2,5454545454545454545454545454545 W/(K m)

ohne Sprungtemperaturen etc.

Aufgabe 11

a) Welchen Wert hat die Wärmedurchgangszahl k für eine 25 cm dicke Ziegelwand, wenn die Wärmeübergangszahlen innen α = 5.56W/(m²·K) bzw. aussen α = 6.33 W/(m²·K) und die Wärmeleitzahl λ = 0,583 W/(m·K) sind?

b) Welche Wandtemperaturen stellen sich ein, wenn die Zimmertemperatur ϑ = 19 °C und die Außentemperatur ϑ = 4 °C beträgt?

Aufgabe 12

Bei welcher Aussentemperatur ϑ beschlägt ein 3 mm dickes einfaches Fenster, wenn die Zimmertemperatur ϑ = 18 °C und die relative Luftfeuchtigkeit 70 % beträgt? Es werden die Wärmeübergangszahlen innen α1 = 8,33333W/(m²·K), aussen α2 = 4W/(m²·K)und die Wärmeleitzahl λ = 0,816 W/(m·K) angenommen.

Aufgabe 13

Welche Wärmeübergangszahl α ergibt sich für eine frei verlegte, 1,5 mm dicke Kupferleitung, die, mit der höchstzulässigen Stromstärke von 25 A belastet, sich im· Dauerbetrieb um 35 °C über die Aussentemperatur von 25 °C erwärmt? (Spez. Widerstand ρ = 0,02 Ω mm²/m}

Aufgabe 14

Wie gross ist der Wärmeverluststrom durch den 20 mm starken Zylinderdeckel eines wassergekühlten Verbrennungsmotors mit 200 mm Zylinderinnendurchmesser, wenn der Deckel als Halbkugel angenommen wird?

Werte:

Innentemperatur T = 165 °C

Aussentemperatur T = 150 °C

Wärmeleitfähigkeit λ = 40 W/(K m)

Lösung:

A = ½ 4 π· = 0.5 ·4 π 11 cm² = 760 cm²

P = 15 40 0.0760/0.02 = 2280

mit Integralrechnung: 2262 W