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Aufgaben zum spezifischer Widerstand und zur Temperaturabhängigkeit des Widerstandes

Formeln:

R = (ρ·ℓ )÷ A

R = R( 1 + α ·Δ ϑ)

Einheiten:

1 Ω mm²/m =10−6  Ohm m

Kupfer: 1,69·10−2 bis 1,75 ⋅ 10−2

3,9 ⋅ 10−3


Aufgabe 1

Eine 1.5 km lange Telefonleitung aus Kupfer soll einen Widerstand von höchstens 25 Ω besitzen. Welchen Querschnitt muss die Leitung mindestens haben?

Lösung:            R = ρ ·ℓ/A → A =ρ ℓ /R = 0.0175 · 1500 / 25 = 1.05 mm²


Aufgabe 2

Der Widerstand eines Kupferdrahtes der Länge 500 m beträgt bei 20 °C 4.47 Ω.

a) Bestimmen Sie den Querschnitt des Drahtes.

b) Bestimmen Sie den Widerstand des Drahtes bei 50 °C.

Lösung: Daten Skript        a) A = 2.00 mm²             b) R50 = 5.00 Ω 


Aufgabe 3

Welchen Spannungsfall je km Leitungslänge weist eine Aluminiumleitung auf, die bei der Stromdichte J = 1.2 A/mm² betrieben wird? (I = 1.2 A, A = 1 mm²)
Lösung:

R = ρ /A =0.0278 · 1000/1 = 27.8 Ω

U = R·I = 27.8 Ω · 1.2 A = 33,36 Volt

 


Aufgabe 4

a) Die Wicklung eines Transformators hat bei 20°C einen Widerstand R20 von 16 Ohm. Welchen Widerstand hat die Wicklung im Betrieb, wenn sich eine Temperatur von 80°C einstellt?

Lösung:     R = 16·(1 + 60 · 0.0039) = 19,744 Ω


Aufgabe 5

Zur Ermittlung des Temperaturkoeffizienten α20 wird ein Draht in einem Ölbad um 50 °C auf 70 °C erwärmt. Dabei wird eine Widerstandszunahme von 18.85% festgestellt.

Wie gross ist der Temperaturkoeffizient α20?

Lösung:    α = 18.85 ÷ (100·50) = 0,00377 1/°C

 


Aufgabe 7

Die Spule eines Gleichstrommagneten hat bei der Temperatur 20 °C einen gemessenen Widerstand von 84.7 Ω. Im Betrieb werden in ihren Klemmen aber 92.4 Ω gemessen. Wie hoch ist demnach die Betriebstemperatur?

Lösung:

7.7 = 84.7 · 0.0039 x → x = 23,31°C → 43°C

 


Aufgabe 6

Ein zylindrisches Stück Metall mit Länge 225 mm und Durchmesser 1 mm weist, bei Kontaktierung an den Stirnseiten und so geringem Strom, dass keine Erwämung stattfindet, bei 20 °C einen Widerstandswert von 7.96 mΩ auf. Berechnen Sie den spezifischen Widerstand und geben Sie eine Vermutung ab, aus welchem Material das Leitungsstück bestehen könnte.

Lösung:     2,78 · 10-8 Ω·m, vermutlich aus Aluminium.


Aufgabe 7

Ein Kupferkabel für das 110 kV-Netz habe eine Querschnittsfläche von 630mm² und sei 5.7 km lang.
Es werde kurzzeitig vom Maximalstrom 652 A durchflossen.
a) Berechnen Sie den Widerstand des Kabels.
b) Welche Spannung liegt am Kabel an?
c) Mit welcher Leistung wird es durch den Strom geheizt?

Lösung:    a) R = 0.0175 · 5700 m ÷ 630 = 0,15833 Ω

                     b) U = R · I =  0,1583 · 652 = 103,23333 = 103.2 V

                    c)   P = U · I =  103,233 · 652= 67308,133 = 67.3 kW        ca. 1 % Verluste


Aufgabe 8

Ein Kupferdraht sei 87 m lang. Welche Querschnittsfläche darf er haben, wenn der Widerstand nicht unter 100 Ω liegen soll?

Lösung:    A = ρ ·  ÷ R = 0.0175 Ω · 87 ÷ 100 = 0.015225 mm²


Aufgabe 9

Ein Aluminiumdraht wiegt 430 g und hat einen Widerstand von 2.85 Ω
a) Berechnen Sie die Länge und Querschnittsfläche des Drahtes.
b) Berechnen Sie den neuen Widerstand, wenn sich der Draht von 20 auf 37 °C erhitzt.


Aufgabe 10

Eine Klingelleitung aus Aluminium hat eine Länge von 40 m (20 m hin und 20 m zurück) und einen Querschnitt von 0.5 mm².

a) Berechne den elektrischen Widerstand der Leitung.

Die Klemmenspannung beträgt 6 V. Die Klingel hat einen elektrischen Widerstand von 10 Ohm.

b) Welche elektrische Spannung liegt an der Klingel an?

Daten: Aluminium ρ = 0.0265 Ohm mm²/m

Lösung:    a) RL= 0.0265 Ω  mm²/m 40 m / 0.5 mm² =  2.12 Ω

                    b) Rtot  = 12.12 Ω            I = 6 V /  12.12 Ω =0,495049 = 0.495 A

                        UKlingel = RKlingel· I = 4.95 V     statt     6 V

Aufgabe 5
Durch eine Glühlampe fliesst bei einer Spannung von 6 V ein Strom von 150 mA. Wie gross ist der Widerstand der Glühlampe?
Bei einer Spannung von 2 V fliesst ein Strom von 70 mA. Wie gross ist der Widerstand jetzt? Erklären Sie, warum ein und dieselbe Glühlampe unterschiedliche Widerstände hat.

Lösung: R = 40 Ohm R = 28.5 Ohm

Temperaturanstieg, Kaltleiter

 

Theorie

Prinzipiell haben alle Metalle einen positiven Temperaturkoeffizienten, sind also Kaltleiter; im Unterschied zu den hier behandelten Bauelementen ist ihr Temperaturkoeffizient jedoch wesentlich kleiner und weitgehend linear wie bei dem wegen ihrer Linearität als Temperatursensoren eingesetzten Platin-Messwiderstand.

Aufgabe 11

Peter schliesst einen langen, dünnen Eisendraht an eine Batterie an. Der Draht beginnt zu glühen. Um zu verhindern, dass er durchbrennt, kühlt er einen Teil des Drahtes mit einem Fön ab. Zu seinem Erstaunen glühen die anderen Teile jetzt sogar stärker. Erkläre diesen Effekt!


Aufgabe 12

 Das Wasserkraftwerk in Ruacana im Norden Namibias ist über eine insgesamt 1040 km lange Kupferleitung mit der Umspannstation Omburu verbunden. Der Radius der Leitung ist 17.5 mm. Die installierte Leistung beträgt 339 MW und die Übertragungsspannung ist 220 kV.

a) Berechnen Sie den Wert des elektrischen Widerstands R dieser Freileitung.

b) Wie gross ist die Verlustleistung in der Leitung?

c) Wie gross ist der Materialwert der Kupferleitung?

Lösung:

A = π 17.5² = 962,11 mm²

I = 339 MW ÷ 220 kV = 1,54090 kA

a) R = 0.0175 · 1040 km/ 962 mm² = 0,01891 kΩ = 18,91 Ohm

b) P = R·I² = 44870672 = 44.9 MW ca 13%

c) V = 1040 · 1000 · 962 over 1000 000 = 1000,48 m³

Preis = 1000 · 8900·5.4 = 48 083 068,8 = 48 Mio sfr