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Schwingungen

Prof.: "Malen Sie doch mal eine Skizze vom Sinus." 
(Prüfling malt.) 
Prof.: "Sieht doch schon ganz gut aus." 
Stud.: "Nein, das sollte die x-Achse sein, ich bin so aufgeregt."

Aufgabe 1

Sabine und ihr kleiner Bruder Claudius sind auf den Spielplatz zum Schaukeln gegangen. Sabine schaukelt. Claudius ruft: "He, ich kann viel schneller hin und her schaukeln als du." "Glaub' ich nicht, du bist doch viel leichter als ich!" antwortet Sabine. "Deswegen wirst du langsamer schaukeln." Wer hat Recht? (Du solltest die Frage experimentell klären!) Was passiert, wenn beide Kinder zusammen auf der einen Schaukel schaukeln?  

Aufgabe 2

An einem Ort mit unbekannter Fallbeschleunigung hat ein Fadenpendel die Periodendauer 1.91 s. Verlängert man den Faden um 39.6 cm, dann beträgt die Periodendauer 2.29 s. Berechne die Fallbeschleunigung an diesem Ort. Hinweis: Betrachte die Differenz der Quadrate der Periodendauern.

Lösung:

1.91 = 2π √ { ÷ g}

2.29 = 2 π √ {(ℓ + 0.396)÷g}

TR:  = 0.9051677 und g = 9.7953 m/s²

Vorteil: Schwerpunkt muss nicht bestimmt werden.

··Aufgabe 3

Gegeben ist ein Fadenpendel der Länge  = 1 m. Die Masse des Pendelkörpers beträgt m = 1 kg. Diese konzentriert sich im Massenmittelpunkt. Der Faden gilt als masselos und der Winkel der Maximalauslenkung beträgt αmax = 30°.

a) Berechnen Sie die maximale Höhendifferenz Δh und die maximale potentielle Energie Epot des Pendelkörpers.

b) Wie gross ist die maximale Geschwindigkeit?

c) Welche Schwingungsdauer stellt sich beim Pendel ein?

 Lösung: g = 9.81 m/s²

a) h = 1 m – 1 m cos(30°) = 0.133974596 m

E = m·g·h = 1 kg · 9.81 m/s² · 0,133974596 m = 1,314290788 J

b) v = 1.62129009 = 1.621 m/s

c) T = 2 π√ {÷g}=2,006066680710647441305673230927 für 0°

T = 2.0401698142827284478078696758528 für 30°

Aufgabe 4

Ein Fadenpendel schwingt nach Verlängerung um 30 % mit einer Schwingungsdauer, die um 0.6 s grösser als die ursprüngliche ist. Berechne die Länge des ursprünglichen Pendels in Meter!

Lösung:

T = 2π √ { ÷ g}

T+0.6= 2π 1.3 √ {1.3  ÷ g}

 

{T+0.6} ÷ T = √ 1.3

T + 0.6 = T √1.3

T = 0.6/{√1.3 -1 }=4,2803508501982759582720980511335

 = g (T÷ 2π)² = 4,6407554308807507090625721781794  für g= 10 m/s²

Aufgabe 5

Während das eine von zwei Fadenpendeln 50 Schwingungen macht, schwingt das andere 54 mal. Verlängert man das zweite Pendel um 6 cm, so führt es in der gleichen Zeit gleich viele Schwingungen wie das erste Pendel durch. Berechne die Länge des ersten Pendels in cm !

Lösung:

t ÷ 50 = 2π √{ ÷ g}

t ÷54 = 2π √{(-0.06)÷g}

50÷54 = √ {(l-0.06) ÷ }

·50² =( -0.06)·54²

ℓ = 0.06·54²÷54² – 50² = 0,420576923 = 0.420 m

Aufgabe 6

Eine Uhr, die von einem Sekundenpendel gesteuert wird, bleibt in einer Woche um 5 min zurück. Um wie viel Millimeter muss die Länge des Pendels verändert werden, damit die Uhr wieder richtig geht ?(Sekundenpendel: T = 2 Sekunden) Interpretieren Sie Ihre Lösung. Technische Realisation?

Lösung:

g= 9.81 m/s²

exakt: T = 2 Sekunden t = 604800 n = 302400

 = 9.81·(2÷2 π)² = 0,99396081153133353786445753408743 = 0.994 m

t = 604800 s         n = 302250         T =2.0009925558312655086848635235732

 = 9.81·(2.000992÷2π)²= 0.994947 m = 0.99494 m

Δ = 0,00099 m

Aufgabe 7

Ein vertikales Federpendel hat mit der Masse m = 50 g die Periodendauer T = 0.655 s und mit der Masse m = 200 g die Periodendauer T = 1.224 s.

a) Welches Verhältnis der Periodendauern hätte man eigentliche erwartet?

b) Die einfache Beziehung T = 2 T trifft deswegen nicht zu, weil in beiden Fällen das Mitschwingen der Feder selbst zu berücksichtigen ist. Die Masse der Feder beträgt mF = 331 g, und in den beiden Versuchen muss die schwingende Masse durch den Ausdruck m + k mF bzw. m + k mF dargestellt werden, wobei k < 1 ist. Berechnen Sie den Faktor k aus den Versuchen.

Lösung:

A = 3,4920482489365421595478118990735        

(1.224/0.655) ² = (200 + k 331) /(50+ k 331) = A →k = {150 A}/{331(A-1)} =0,03079340293773913380824681276156