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Aufgaben zum Sinussatz und zum Cosinussatz

Sinussatz und Cosinussatz

sin(α) = b÷sin(β) = c÷sin (γ) = 2r        r: Umkreis

Beweis:

c² = a² + b² -2a·b cos (γ)

Aufgabe

Gegeben ist das Dreieck ABC mit den folgenden Grössen:

AC = b = 6.0 cm

AB = c = 8.0 cm

Winkel β= 35.0

Berechnen Sie alle Werte für den Winkel γ.

Aufgabe 1

Zwei geradlinige Arme eines Flussdeltas, die einen Winkel von 40° bilden, schneiden ein dreieckiges Stück Land ab. Wie gross ist die Fläche des Landes, wenn die Arme 17.4 km und 34.3 km lang sind?

Lösung:

A = 0.5·17.4·34.3 sin 40° = 191.8142506 = 192 km²

Aufgabe 2

Die längste und die kürzeste Mantellinie(s = 10.2 cm; s = 16.5 cm) eines schiefen Kreiskegels bilden einen spitzen Winkel von 108° 10'. Wie schwer ist der Kegel, wenn er aus Stahl (ρ = 7.8 g/cm³) ist?

Aufgabe 3

Zwei Kräfte F = 253 N und F = 174 N können durch die Resultierende R = 364 N ersetzt werden. Welchen Winkel bilden beide Kräfte?

Aufgabe 4

Zwei Pkw A und B (A: 55 km/h, B: 68 km/h) fahren gleichzeitig von einem Kreuzungspunkt in verschiedene Richtungen geradlinig ab. Die Strassen bilden einen Winkel von 106° 40'. Wie weit sind die beiden Pkw nach 25 Minuten voneinander entfernt?

Aufgabe 5

Zeigen Sie anhand einer geeigneten Skizze, dass die Gleichung cos(α) = - cos (180° - α) auch für Winkelmasse α mit 0° < α< 90° gilt.  


 Aufgabe 6

Gegeben

    a = AB = 6.5

    d = AD = 7.3

    r = 4

    ∠ADC = 95.9°

 

 

 

 

 

 

 

 


Aufgabe 7

Gegeben:    γ = 57°; c = 7; a + b = 7

Lösung:

 c² = a² + b² -2 a·b·cos (γ)

49 = a² + (7-a)² -2a (7 - a) cos (57°) → a= 0 und a = 7 Dreiecksungleichung

Aufgabe 8

Gegeben ist ein Parallelogramm ABCD mit folgenden Massen: Seite

    AB = 15.0 cm

    Winkel β = 62°

    Diagonale AC = 13.5 cm

    Winkel γ > 90°

Berechnen Sie die Länge der Diagonalen BD. Runden Sie Ihr Resultat auf 3 sign. Stellen.  


 Lösung:

 Bei der Konstruktion sieht man, dass es zwei Lösungen ergeben muss.

Aufgabe 9

Bestimmen Sie den Winkel β. Benutzen Sie dazu die exakten Werte der trigonometrischen Funktionen.

Lösung:

sin 120° ÷ √{162} = sin β  ÷ {2 √ 27} → sin β = 1/√ 2 → β =45°

Aufgabe 10 

Vor dem Bau eines horizontal verlaufenden Tunnels soll seine Länge AB bestimmt werden. Zu diesem Zweck wird im Tal eine ebenfalls horizontale Standlinie AC 353 m abgesteckt, die mit der Bergspitze S sowie dem Tunneleingang B in einer Vertikalebene liegt. In S werden folgende Winkel gemessen: α = 26° , β = 40° und γ = 32° . Berechnen Sie aus diesen Angaben die Länge AB des Tunnels.  

Lösung:

353÷sin( 26°) = AS ÷ sin(32°)→ AS = 353 sin(32°) ÷ sin(26° )= 426.7194628

426.71 ÷ sin(40°) = AB ÷ sin(82°) → AB = 426.71 sin(82°) ÷ sin(40°) = 657.3824 = 657.4 m

Aufgabe 11

Von zwei möglichst weit entfernten Punkten der Erdkugel (z.B. Wien mit der nördlichen geografischen Breite φ 48°15 und Kapstadt mit der südlichen Breite φ₂ 33°58), die in etwa auf gleicher geographischer Länge liegen, wird ein bestimmter Punkt des Mondes angepeilt. Dabei hat man folgende Winkel zur Zenitrichtung gemessen: Wien z₁ 27°40 und Kapstadt z 55°43.

Hinweis: Wien 27°40 Ost und Kapstadt 18° 29 Ost

Lösung:

Abstand Wien Kapstadt

d = 2 r sin (41°06.5′)

WM/sin (76°23.5′) = d/sin(1°10′)    → WM = 2r sin(41°065.5′)    sin (76°23.5′)/sin( 1°10′) = 62.77 r

Skizze

 

¾⁸₀₃⅙₁₂⅓⅔⁴⅕⅖

Aufgabe 8 

Von einem Dreieck ABC ist gegeben.

Seite a = 7.32 cm

Seite b = 2.81 cm

Winkel β = 21°

Berechnen Sie den Winkel α.

Lösung:

sin(α) ÷ 7.32 = sin (21°) ÷ 2.81 → sin(α) = 0,93354213191160071242131267562512

α1 = 68,993878323017242853313946122817

α2 = 111,00612167698275714668605387718

Aufgabe 6

In der Nordsee steht eine Bohrinsel A. 12 km westlich ist eine Bohrinsel C verankert. Ein Schiff B befindet sich um 15:00 Uhr genau in nördlicher Richtung der Bohrinsel A. Der Winkel ∠ACB beträgt 30°. Das Schiff fährt mit einer Geschwindigkeit von 8 km/h in südwestlicher Richtung (45°).

l Erstellen Sie eine massstabsgetreue Zeichnung im Massstab 1:100‘000 und zeichnen Sie die Lage des Schiffes um 15:45 Uhr ein.

ll Berechnen Sie die Distanz des Schiffes zur Bohrinsel A um 15:00 Uhr.

lll Berechnen Sie die Distanz des Schiffes zur Bohrinsel A um 15:45 Uhr.