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hello pyramide

Die Pyramide ist ein geometrischer Körper, genauer ein Polyeder, von dessen Seitenflächen eine ein Polygon ist und die übrigen Dreiecke, die dem Polygon benachbart sind. Die Seitenflächen treffen sich in einem Punkt, der Spitze der Pyramide. Das Polygon heisst auch Grundfläche der Pyramide und die Dreiecke bilden zusammen ihre Mantelfläche.

Cheops Pyramide

Die Cheops-Pyramide ist die älteste und größte der drei Pyramiden von Gizeh und wird deshalb auch als „Große Pyramide“ bezeichnet. Die höchste Pyramide der Welt wurde als Grabmal für den ägyptischen König (Pharao) Cheops (altägyptisch Chufu) errichtet, der während der 4. Dynastie im Alten Reich regierte (etwa 2620 bis 2580 v. Chr.)  

 

 

Ihre ursprüngliche Seitenlänge wird auf 230.33 m und die Höhe auf 146.59 m geschätzt.

Verhältnis Umfang zur Höhe: 921.32 ÷ 146.59 = 6,285012 = 6.285  = 2 π

ha = √ {h² + (½a)²} = 186,41782459035 = 186.4 m

s = √ {ha² +(½a)²} =219,122300439 = 219.1 m

sin α = h ÷ ha = 146.59 ÷ 186.4178 = 0,78609809 → α = 51,904176 = 51.90 °

sin β = h ÷ s = 146.59 ÷ 219.12 = 0,66899  → β = 41,989480 = 41.99°


Aufgabe 1

Berechnen Sie Volumen und Oberfläche der Pyramide

Lösung

h =93  √2 tg(61°) = 237,2717186 = 237.3 m

V= ⅓ 186²· 237.27 = 2736197,64 = 2736200 m³

s = √ {237.2² + 93²}  =271,2228603 = 271.2 m

 

cos β = (a/2) ÷ s = 93/271.2 = 0,342920 → β = 69,94510196° = 69.9°

 

 

 

 

 

 

 


Aufgabe 2

 Eine Pyramidenkerze hat eine Grundfläche von 324 cm². Die Fläche eines Seitendreiecks beträgt 135 cm². Berechnen Sie die Oberfläche der Kerze und ihr Volumen!  

Lösung:    a =√324 = 18

h= 2· 135 ÷ 18 = 15

h² = 15²- 9² = 144 → h = 12

V =⅓  324·12 = 1296 cm³

A = 4 135 + 324 = 864

 

 


 

Aufgabe 3 

 

 

 

Es gilt: a = 4 und s = 4.5

Berechnen Sie bei der quadratischen Pyramide

hs, h.

Mantelfläche

Volumen

α, β und γ

Lösung:

hs =√ {4.5² – 2²}= 4,0311288741492748261833066151519

h = √ {4.0311 ² – 2²} = 3,5

 

V = ⅓ · 16 · 3.5 = 18,6666666 = 18.67 

A = 4· ½ ·4 · 4.0311 = 32.2488

cos α = 2 ÷4.5 = 4/9 → α = 63,6122000 = 63.6°

sin β = 3.5 ÷ 4.5 = 7/9 → β = 51,0575587 = 51.1°

tan γ = 3.5 ÷2 = 7 ÷4 →γ = 60,25511870 = 60.3°

hello pyramide

Eine n-seitige Pyramide mit der Höhe h = 10 cm wird durch einen Schnitt parallel zur
Grundfläche in zwei Teilkörper zerlegt. Der Schnitt erfolgt 2 cm über der Grundfläche.
Berechnen Sie das Verhältnis zwischen dem Volumen 1 V des so entstandenen
Pyramidenstumpfs und dem Volumen 2 V der abgeschnittenen Spitze.

Lösung: Pyramide

Pyramide 0.8³= 0.512 = 51.2 %

Pyramide/Stumpf = 0.512/0.488 = 1,049180327868852459016393442623

Formel: V = ⅓ h·(A1 + A2 + √{A1 · A2})


 

Aufgabe 4

Ein senkrechter quadratischer Pyramidenstumpf wird von der oberen Deckfläche bis zur Grundfläche senkrecht ausgehöhlt (siehe Abbildung). Masse: a = 8 cm; b = 4 cm; h = 3 cm

a) Wie gross ist das Volumen des Restkörpers?

b) Wie lang ist die Kante k?

Lösung:    VS = ⅓ 3 ( 64+16 + 32) = 112 cm²

VQ = 4 · 4 · 3 = 48 

VRest = 64 cm²

b) k = √( 9 + 2·4) = √ 17

 


Aufgabe 5

Aus einem massiven Holzquader mit quadratischer Grundfläche (Seitenlänge a = 30 cm, Höhe h = 40 cm) wird ein quadratischer Pyramidenstumpf mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe und dem halben Volumen ausgeschnitten.

(a) Berechnen Sie die Seitenlänge der Deckfläche des Pyramidenstumpfes.

(b) Wie lang sind die Seitenkanten des Pyramidenstumpfes und welchen Winkel bilden sie mit der Diagonalen der Grundfläche?

(c) Welche Höhe hätte die Ergänzungspyramide?

Lösung:

VQ= 30·30·40 = 36000

VPS = 18000 = 1/3 40 ( 900 + 30 x + x²)

x² +30 x -450 = 0

x= 10,9807621135331

x = 11 cm

30/√ 2 = 21,213203435596425

 

11/√ 2 = 7,77817459305

 s = √ {40² + 13.44²} = 42,197554431507046756805721478784

h ÷ 30 = ( h -40) ÷ 11 →  11 h = 30 h - 1200 → h = 1200/19 =63,1578947 = 63.16 cm

tanβ = 63.15 / 15 √ 2  → β = 71,431888131 = 71.43°

 

sinβ = 40÷42.19755 → β = 71,427669397 = 71.43°

 


Aufgabe 6

Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche ABCD und Spitze S hat gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen. In Punkt A sitzt eine Spinne, die zu einer Fliege krabbelt, die in Punkt M in der Mitte der Strecke CS sitzt.
Wie lang ist die kürzeste Krabbelstrecke?

Lösung:

 

 

 AB = s         AC = √3             AM² = (¾ s √ 3 )² +(¼ s)²= 28 ÷ 16 =7÷4            AM = ½ √ 7 

Aufgabe 7 

Ein Körper ist durch sein Netz gegeben.
Gesucht sind Oberfläche und Volumen.

Berechnen Sie den kürzesten Weg zwischen A und C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lösung:

hs = √ 5² – (2 √ 2)² = √17

h = √{5² – 4²} = 3

 

Oberfläche 4· 1/2 4 √ 2 sqrt 17 = 46.64 Grundfläche 32

Volumen 1/3·32·3 = 32

hkante = √17 · 4 √2 over 5 = 4 over 5 sqrt 34 =4.66 stot = 9.32

über die Spitze: 10

über die Grundseiten: 2 · 4√2 = 8√2 = 11.2