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Aufgaben zum Strahlensatz; Gymnasium und Berufsmaturitätsschulen

 

Der Strahlensatz(man spricht auch vom ersten, zweiten und dritten Strahlensatz) oder Vierstreckensatz gehört zu den wichtigsten Aussagen der Elementargeometrie. Er befasst sich mit Streckenverhältnissen und ermöglicht es bei vielen geometrischen Überlegungen, unbekannte Streckenlängen auszurechnen.

Winkelhalbierende

1. Fomel

a÷ca = b÷cb

 

Beweis:

Dreieck BCE: 180°-γ + 2ε = 180° → ε = ½γ

DCA = EBC → DC // BE

also a÷b = ca÷cb        QED

 

2. Formel

2 cos (½γ) ÷w =1/a + 1/b

 

Beweis mit cosinus-Satz

oder

EB = 2 a·cos(½γ)

w÷b = 2 a·cos(½γ) ÷ {a+b}

2 cos(½γ) ÷ w = (a + b) ÷ (a·b) = 1÷ a + 1 ÷ b

QED

 q. e. d. steht für: quod erat demonstrandum, lateinisch für: was zu beweisen war, Abschluss einer Beweisführung in Mathematik und Philosophie.

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 1

In nebenstehender Abbildung (nicht massstabsgetreu) gilt AB || CD.

a) Berechne x, y und z.

b) Eine zentrische Streckung mit dem Zentrum Z, die A in C überführt, bildet ein Dreieck mit dem Flächeninhalt A = 578 cm² in ein Dreieck mit dem Flächeninhalt A`. Berechnen Sie A`.

Lösung:

a) 17/ 25 = x/40 → x = 27,2

y=40-27.2 = 12.8

z / 27.2 = 4/ 12.8 → z =8,5

b) A = 578 (12.5 / 8.5) ² =1250 cm²


 

Aufgabe 2 

Ein Kirchturm wird wie in der Zeichnung dargestellt vermessen.

(a) Wie hoch ist der Turm?

(b) Wie lang ist eine Kante?

Lösung:

√ (6.08² – 6²) = 0,9664

h /6 =( h - 6) / 4 → 4 h = 6 h -36 → h = 18 m

a = 3 · 6.08 = 18.24 m

 


 

Aufgabe 3

Das Parallelogramm ABFD hat die Seitenlängen DF = 10.5 cm und BF = 2.0 cm

a) Berechnen Sie DE aus DC = 5 cm

b) Geben Sie das Verhältnis CE ÷CB an. Zeigen Sie, dass man dieses Verhältnis auf zwei verschiedene Weisen berechnen kann.

Lösung:

a) 10.5 ÷ 7 = x ÷ 5 → x = 7.5

b) CE ÷ CB = 5 ÷ 7 = 7.5 over 7.5

Aufgabe 4

In den folgenden(nicht massstabsgetreuen) Figur gilt ED || AB. Gegeben sind die Streckenlängen,,,,,.

Berechne die Streckenlängen ,, und.

Lösung:

AF ÷ 1.4 = 6 ÷ 2 → AF = 4.2

BF ÷ (6.7 – BF) = 6 ÷ 2 → BF =5.05

CD ÷ 8.2 = 2 ÷ 6 → CD = 2.733

AC → 8.2 = 4.7 ÷ 5.466 → AC = 7.05

 

 

 


 

Aufgabe 5

Berechne jeweils x und y. Zeichnungen sind nicht massstabsgetreu !

Lösung:

{x-2} ÷ 3 = 12 ÷ 10 → x = 5.6

{y-1} ÷ 3 = y ÷ 10 → y = 10÷7 = 1.42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Aufgabe 6

Berechne jeweils x und y. Zeichnungen sind nicht massstabsgetreu !

Lösung:

4x ÷ 6 ={ x + 5} ÷ {x+3} → 2 x² + 3 x - 15 = 0 → x = 2.089

{2 y - 2} ÷ 6 = y ÷ {x + 3} → x = 2.435

 

 

 

 

 

 


 

Aufgabe 7

In der Figur verhalten sich die Seiten des Rechtecks AEFD wie diejenigen des Rechtecks ABCD; ferner ist . Berechnen Sie das Verhältnis von Längen und Breite des grossen Rechtecks.

Lösung:     DA = x        AE = 1

d = √(1+x²)

 1+√{1+x²} over x = x over 1

→ x =√3

 


 

Aufgabe 8

Bestimme die Breite a eines Kanals, wenn folgende Strecken gemessen werden:

b= 12 m, c=30 m und d = 22 m

Lösung:

a÷12 = (a+30)÷22 → a = 36

 

 


 

Aufgabe 9

Berechne die Entfernung der Punkte A und B, wenn folgende Streckenlängen vermessen werden: m = 100m, n = 25m, a = 20m

Lösung:

x ÷ 100 = 20 ÷ 25 → x = 80 m

 

 

 


 

Aufgabe 10

In einer Dachschräge mit den angegebenen Massen soll in halber Höhe ein Regalbrett angebracht werden. Welche Tiefe x muss es haben?

Lösung:

0.9 ÷ 2.2 = x – 0.4 ÷ 1.1 → x = 0.85 m

 

 

 

 

 

 

 


 

 Aufgabe 11

 Bestimme den Abstand der Punkte A und B.  

 Lösung:

x÷160 = 560÷240→ x = 373.333

 


Aufgabe 12

Bestimmen Sie den Flächeninhal des Dreiecks AED. w ist de Winkelhalbierende.

Lösung:

CA = √{40²-24²} = 32

24÷CD = 40÷DA und CD + DA = 32 →CD  = 12 und DA = 20

A = ½·12·24 = 144

 


Aufgabe 13

Einem Quadrat mit der Seitenlänge s = 24 cm ist ein rechtwinkliges Dreieck umschrieben, dessen eine Kathete dreimal so lang ist wie die andere. Berechnen Sie die Längen der beiden Katheten.  

Lösung:

 3 = a÷ b = {a - s} ÷ s  → 3 s = a – s → a = 96, b =32

 


Aufgabe 14

Berechnen Sie die schraffierte Fläche.

Lösung:

12 ÷ 18= ( 15 - x ) ÷ x

12 x =18 ·15 -18 x

30 x = 18 · 15

x = 9

A = 0.5·18·9 = 81

 

 

 


Aufgabe 15

Gegeben sind a und b.  

¾₁₂⅓⅔⁴⅕⅖

 

Lösung:

b over b/2 = h over a/2 -h

b a/2 -bh =½ hb

ba -2bh = hb

ba = 3bh

h =  a

A = b  a + ½ b ⅙ a = 5/12 ab

 

 


Aufgabe 16

Knacknuss! A'B' ist die Parallele zu AB durch den Inkreismittelpunkt des rechtwinkligen Dreiecks ABC. Wie gross ist der Flächeninhalt des Dreiecks A'B'C'?

Lösung:

BC = 9

(x+3)² + 9² = (x+6)²

 +6 x + 9 + 81 = x² + 12 x + 36

54 = 6 x → x = 9

a= 9, b = 12 und c = 15

A = 54

h = 7.2

 h' = 4.2

 A' = 54·(4.2/7.2)² = 18,375

Aufgabe 17

Berechnen Sie den Radius R, wenn folgende Strecken und Beziehungen gegeben sind:

,

,

, .

Das Resultat ist auf zwei Stellen nach dem Komma anzugeben. Bem.: Zur Lösung der Aufgabe dient der Lehrsatz des Pythagoras sowie die Ähnlichkeitsbeziehungen am Kreis (Sehnen- und Sekantensatz etc.)

Hinweis:

Sekantensatz:

Sehnensatz: 

Lösung:

AD = 4x         AF = 12 x

DE = x

EF = 7x

GE = 7 cm BE = 9 cm

Sehnensatz: 7x · x = 7 cm · 9 cm → x = 3 cm

AD = 12 cm AF = 36 cm

AE = 15 cm BE = 9 cm → AB = 12 cm

Sekantensatz

12 cm ·36 cm = 12 cm · AC → AC = 36 cm also BC = 24

R = √{8² + 12²} = √208 = 4 √13 = 14,42220510185595717


Aufgabe 15

In der folgenden Zeichnung sind gegeben :

Die Längen der Strecken a=24 m , a =45 m, b = 60 m, b = 36 m, c = 44 m , c = 103 m.

Berechnen Sie die Länge der Strecken x und y.

 


Aufgabe 18

Gegeben ist das Rechteck ABCD mit und sowie ein Punkt P auf der Geraden AD. Von P aus wird eine Gerade durch den Punkt B so gelegt, dass der Flächeninhalt des Trapezes ABSD genau 10-mal so gross wird wie derjenige des Dreiecks BCS.

a) Wie lang ist die Strecke ?

b) Wie lang ist die Strecke ?

Lösung:

½(x+a) b = 10 · ½ (a-x) b

x + a = 10 a -10 x

11 x = 9a

x = 9/11 a

 

DP ÷ b = 9/11 ÷ 2/11 → DP = 4.5 b

 

 

 

 

 

 

 

 

Aufgabe

a) Zwei ähnliche Vierecke haben die Flächeninhalte A = 50 cm² und A' = 112,5 cm².

Der Umfang des ersten Vierecks ist u = 45 cm. Berechne u'.

b) Die Flächeninhalte zweier ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie 81 : 25.

Ihre Umfänge unterscheiden sich um 16 cm.

Berechne die Umfänge u und u'.

Lösung: