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Archimedisches Prinzip

Der statische Auftrieb eines Körpers in einem Medium ist genauso gross wie die Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Mediums.  

Gewicht:    FG = m·g = V·ρK·g       

Auftrieb:     FA  = V ρfl g     (Gewicht der verdrängten Flüssigkeit)

Aufgabe 1     Auftrieb
Ein Bleikörper mit der Dichte ρPb = 11.3 g/cm³ wiegt an der Luft 80 N und in einer unbekannten Flüssigkeit 5.6 N weniger. Berechne die Dichte der unbekannten Flüssigkeit.

Lösung:    V· ρPb ·g = 80 N

                    V· ρfl ·g = 5.6 N 

                   ρflρPb ·5.6 ÷ 80 = 0.791 g/cm³       


Aufgabe 2

Ein Edelstein von 5 Karat hat ein scheinbares Gewicht in Spiritus(ρSpiritus = 0.80 g/cm³) von 7.58 mN. (1 Karat = 0.2 Gramm, g = 9.81 m/s²)

Material

Smaragd

Diamant

Zirkon

Saphir

Dichte in g/cm³

2.6 – 2.9

3.52

3.92 – 4.72

3.95 – 4.03

Berechnen Sie die Dichte des Edelsteins! Welcher Name trägt der Edelstein?

Lösung: 

F= m·g =0.001 · 9.81 = 0.00981 N = 9.81 mN

FA = 9.81 mN - 7.58 mN = 2.23 mN

F= V· ρfl·g → V =  F ÷ (  ρfl g ) = 2.23·10-3 N/ (800 kg/m³ · 9.81 m/s²) = 2,84148827e-7 = 0.28414 cm³

ρ = 1 g /0.28414 cm³ = 3.519 g/cm³ → Diamant


 

Aufgabe 3     Auftrieb
a) Welche Auftriebskraft erfährt der rechts abgebildete Holzklotz?
b) Berechne seine Dichte, wenn das Wasser die Dichte ρw = 1 g/cm³ besitzt.

Lösung: 1 N = ρHolz V·g

        2.9 N = V·ρW ·g  

2.9 =ρW ÷ ρHolz → ρHolz = → W ÷ 2.9 = 0.345 kg/dm³

 

 

 

Aufgabe 4

Ein Schiff steht im Hafen. An dem Schiff hängt eine Leiter, deren Sprossen haben einen Abstand von 20 cm.  Bei Ebbe ragen 30 Sprossen aus dem Wasser. Als die Flut kommt steigt das Wasser im Hafenbecken um 4 m an. Wie viel Sprossen ragen jetzt noch aus dem Wasser?


Aufgabe 5

Ein flacher, h = 4 cm hoher Holzquader sinkt in Benzin (ρ = 0.7 g/cm³) um ∆h = 8 mm tiefer ein als in Wasser. Welche Dichte hat das Holz?

Aufgabe 4 6

Ein Salzbrocken (NaCl) hat ein Gewicht von 0.66 N. Wenn er vollständig in Spiritus eingetaucht ist, reduziert sich das Gewicht auf noch 0.42 N (das sog. „scheinbare“ Gewicht).

Dichte von Spiritus: ρSpiritus = 0.80 g/cm³ .

a) Berechne Sie die Dichte des Salzstücks.

b) Weshalb wird der Versuch mit Spiritus und nicht mit Wasser ausgeführt?

Lösung: FA = 0.24 N → V = 30 cm³

ρ = 66 g/ 30 cm³ = 2.2 g/cm³

Salz löst sich in Wasser auf

Witz

Prof.: "Sagen Sie: Kann eine Eisenkugel auf Quecksilber schwimmen?"
Stud. (hat fleißig gelernt, kennt die Dichtewerte von Fe und Hg, rechnet kurz und strahlt): "Ja, Herr Professor. Auf Quecksilber können sogar fast zwei Eisenkugeln schwimmen!"

Aufgabe 6

Ein Granitstein hat die Masse m = 355 g. Wenn er vollständig in Wasser getaucht wird, verdrängt er Wasser vom Volumen V = 128 cm3.

a) Welche Kraft F1 zeigt der Kraftmesser, an dem der Stein in Luft hängt?

b) Welche Kraft F2 zeigt der Kraftmesser, an dem der vollständig in Wasser getauchte Stein hängt?

Lösung:     a) FG = 3.55 N         b) FA = 1.28 N     Fres = F1 = 2.27 N    für g = 10 m/s²

 


Aufgabe 7

Ein Bleikörper wird in eine Flüssigkeit getaucht. Es stell sich eine Gewichtsverringerung von 5.6 N ein. Der Bleikörper hat in der Luft eine Gewichtskraft von FpbL = 80 N. Wie gross ist die Dichte der Flüssigkeit? Blei 11.3 g/cm³

Lösung: V = 707,964601 = 708 cm³

ρ = 560/708 = 0,79096045197 = 0.79 g/cm³ Alk

 

Aufgabe 8

Eine Eisscholle kann als Eisplatte mit der Grundfläche A = 4.60 m² aufgefasst werden. Diese Eisscholle taucht um die Strecke d tiefer in das Meerwasser ein, wenn sie von einem Menschen mit der Masse m = 75 kg betreten wird. Berechnen Sie die Strecke d!

(Dichte von Meerwasser: 1020 kg/m³)

Lösung:     V = 75 kg/ (1.02 kg/dm³) = 73,5294117 dm³ = 73.5 dm³         d = 73.529/460 = 0,159846 dm = 1.6 cm

 

Aufgabe 9

Ein 1 dm³-Eisenklotz (Dichte Eisen:  ρ = 7.874 kg/dm³) wird 20 m tief ins Wasser abgetaucht.

Wie gross ist seine Gewichtskraft in Luft ?

Mit welcher Kraft muss ich den Klotz in dieser Wassertiefe halten, damit er nicht absinkt ?

Lösung:     FG = 78.74 N     V = 1 dm³     FA = 10 N     Fres = FG - FA = 68.74 N

 


Aufgabe 10

Ein Gasballon enthält 100 m³ Helium (Dichten aus Formelsammlung). Die Masse der Hülle, der Seile und des Korbes beträgt insgesamt 50 kg. Mit welcher Masse kann der Ballon höchstens beladen werden ? Luft: 1.293 kg/m³ Helium: 0.1785 kg/m3

Lösung:    mL = 129.3 kg     mHe = 17.85 kg         m = 129.3 – 17.85 – 50 = 61,45 = 61.4 kg

 

Aufgabe 11

Fahrten mit Heissluftballons werden immer beliebter. Mit einem Gasbrenner wird die Luft im Inneren des Ballons erhitzt. Das Diagramm zeigt den Zusammenhang zwischen der Dichte und der Temperatur der Luft bei konstantem Druck.

a) Erkläre die Lage der Messpunkte im Diagramm mit der Bewegung der Teilchen.

b) Warum schwebt der Heissluftballon? Begründe deine Antwort mithilfe des Diagramms.

c) Der abgebildete Heissluftballon habe ein Volumen von 1600 m³. Die Luft im Inneren des Ballons hat eine Temperatur von 100 °C. Die Luft, in der der Ballon schwebt, hat eine Temperatur von 0 °C. Hülle, Korb und weitere Ausrüstungen wiegen zusammen etwa 340 kg.

    • Welche Masse hat die Luft im Inneren?

    • Welche Masse hat die vom Ballon verdrängte Aussenluft von 0 °C?

    • Können 5 Personen von je 75 kg gleichzeitig mit dem Ballon fahren?

 


Aufgabe 12

Eine Eisenkugel (ρ = 7,9g/cm³) erfährt in Wasser einen Auftrieb von 6,5 N. Wie groß ist der Auf­trieb, wenn man die Kugel vollständig in Alkohol (ρ = 0,78g/cm³) taucht?

Lösung:        

FA = 5.07 N

FA = V ρfl g → V = FA ÷ ρfl·g = 6.5/10000 = 0.65 10-3 m³ = 0.65 dm³

FA = V·ρfl g = 0.65 10-3 ·780·10 = 5.07 N

 

Aufgabe 13

Bestimmen Sie die Mindestgrösse eines quaderförmigen Eisblockes in Kubikmeter in einem Süsswassersee, damit er ein Auto der Masse mA = 1500 kg tragen könnte.

Dichte von Süsswasser:     ρWasser = 0.998·10³ kg/m³ -

Dichte von Meerwasser:    ρMeerwasser = 1.05·10³ kg/m³ -

Dichte von Eis:                     ρEis = 0.917·10³ kg/m³

Lösung:

FA = FG

V ρW g = m·g +V ρ Eis g → V = m ÷ ( ρW – ρ Eis) = 1500 ÷ 81 = 18,5185185 m³

 

Aufgabe 13

Ein Stein wird an eine Federwaage gehängt. Sein Gewicht beträgt 5 N. Nun wird er ganz unter Alkohol(0.78 g/cm³) getaucht. Die Anzeige der Federwaage geht auf 3.2 N zurück. Berechnen Sie Volumen und Dichte des Steins.

Lösung:

FA = 1.8 N V = FA/hofl g = 1.8/(780 cdot 10) = 2,307692 e-4 m³ = 0.231 dm³

ρ = FG/(Vg) = 5 N/(10 2.31 10-4 m³) =2166,6666 kg/m³ = 2.166 kg/dm³

Aufgabe 14

Zur Messung der Dichte von Flüssigkeiten kann man einen sog. Aräometer verwenden (auch Senkspindel genannt). Dieses Instrument besteht aus einem länglichen Tauchkörper mit einem anschliessenden dünnen zylindrischen Hals vom Radius rO. Bei der Eichung in Wasser mit der Dichte ρW = 998,5 kg/m³ sei ein Aräometer mit rO = 10 mm bis zur Marke M eingetaucht. Das Aräometervolumen unterhalb der Marke sei V = 0,001 m³. Wie groß ist die Dichte ρF einer unbekannten Flüssigkeit, falls das Instrument darin bis zu h = 350 mm eintaucht?  

 

Lösung:

V0 = 0.001 m³ = 1 dm³

m = V0 ·ρ = 0.001 m³ cdot 998.5 kg/m³ = 0.9985 kg

 

Δ V = π·h = π 10² · 350 = 109955,7428 mm³ = 110 cm³ =0.110 dm³

ρ = 0.9985 kg / 1,11 dm³ = 0,89954954  = 0.900 kg/dm³ = 900 kg/m³

 

Aufgabe 15

Zur Bestimmung der Dichte einer Flüssigkeit wird ein Aräometer eingesetzt, das aus einem Tauchkörper mit aufgesetztem Glaszylinder besteht, so dass das Gerät stets senkrecht schwimmt. Der Glaszylinder enthält eine Skale, auf der man die Dichte ablesen kann. Im gegebenen Fall hat der Glaszylinder den Durchmesser d = 6,0 mm und das gesamte Gerät ist 15,3 g schwer. Bei einer Dichte von 1 g/cm³ ist die Skale mit der Länge l = 12 cm genau zur Hälfte eingetaucht.

a) Geben Sie an, wie sich die Eintauchtiefe verändert, wenn man das Aräometer in eine Flüssigkeit mit grösserer Dichte taucht. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

b) Ermitteln Sie die maximale und die minimale Dichte, die man mit diesem Aräometer messen kann.  

Lösung:

a) wird kleiner

b) ΔV =π (0.3 cm)² · 12 = 1.696 cm³

V = 15.3 m³

 

ρ = 15.3 g/(15.3 + 1.696) = 0.900 g/cm³

ρ = 15.3 g/(15.3 - 1.696) = 1.125 g/cm³

 

Aufgabe 16

Ein Korkzapfen (Dichte 200 kg/m³ , Volumen 3 cm³) wird in 70 cm Tiefe unter Wasser festgehalten.

a) Mit welcher Kraft wird der Faden belastet? (es wirken zwei Kräfte)

b) Wie ändert sich das Resultat, wenn der Korkzapfen in doppelter Tiefe festgehalten wird?

c) Welcher Anteil des Zapfens ragt aus dem Wasser, wenn der Faden reisst und der Zapfen schwimmt (analog: schwimmende Eisberge).  

Lösung:

a) Fres = FA – FG = 0.030 N – 0.006 N = 0.024 N

b) keine

c) 0.6 cm³ im Wasser (20%) und 2.4 cm³ aus dem Wasser

 

Aufgabe 17

Betrachtet wird ein Heissluftballon. Die Hülle ist im Betrieb stets auf das maximale Volumen VHB = 5000 m³ aufgebläht. Mittels eines Gasbrenners kann die Luft im Inneren des Ballons erwärmt werden. Da die Ballonhülle am unteren Ende offen ist, gleicht der Innendruck im Heissluftballon näherungsweise dem umgebungsdruck. Ballonhülle, Gondel und Brenner führen zu einer Gesamtmasse von mBallon = 210 kg.
In Bodennähe betrage die Aussentemperatur , der Luftdruck. Die Lufttemperatur im Inneren der Ballonhülle sei homogen und betrage.

a) Welche Dichte besitzt die Luft bei 0°C, 50°C und 100°C?

b) Welche Massen dürfen die Personen im Korb höchstens haben?

c) Bei welcher Innentemperatur können 5 Personen zu 80 kg transportiert werden?

Für die Dichte der Luft gilt: ρ = 1.2 kg/m³ · 273°C/(273 °C +ϑ)

Lösung:

a)

0°C:    1.2 kg     50°C:    1,014 kg/m³        100°C:     0,878 kg/m³

b)

18°C         1,12577             5628 kg

67°C         0,96352         4817 kg

also 811 kg also 601 kg

c)

610 = 1.2 · 5000 (273/291 – 273/273+x)

1.2 · 5000 (273/291) = 5628,8659793814432989690721649485

273/(273+x)= 0,836333333 273 + x =326,42500056795558706878719361785

x = 53°C

Dichte 1.004

Masse Luft aussen 5625

Masse Luft innen 5625 – 400 – 210 = 5015

Dichte innen 1.003

1.003 = 1.2 273/(273+x) → 273+x = 326,62013958125623130608175473579

x = 53

Aufgabe 16

Ein Reagenzglas von 20 g Masse, d = 4 cm Durchmesser und h = 30 cm Länge ist mit 250 g Bleischrot beschwert und schwimmt in Methanol (ρM = 792 kg/m³).

a) Berechne, wie weit das Röhrchen aus der Flüssigkeit heraus ragt.

b) Wie viel Bleischrot könnte man maximal noch einfüllen, damit es gerade noch schwimmen würde?  

Lösung:

mtot = 270 g

Valk = 270/0.792 = 340,9090

A = π 4 = 12,566370614

 

h = 340.90/12.5663 = 27,056492364, also x = 2.944 cm

 

Vmax = 30 · 12.5663 = 376,989

mtot = 376,989 ·0.792 = 298,575288, also 28.57 g zusätzliches Bleischrot

 

 

 

 

 

Aufgabe

Eine Boje ist bei Hochwasser ganz unter Wasser, weil sie an einer kurzen Kette hängt. Die Boje hat ein Volumen von 0.7 m³..Mit welcher Kraft zieht sie an der Kette? (Mittlere Dichte der Boje ist 100 kg/m³)

Lösung:

FA = 0.7 1000 10 = 7000 N

FG = 0.7 100 10 = 700 N

Fres = 7000 N – 700 N = 6300 N

 

Aufgabe 2

Eine Flaschenpost schwimmt im Meerwasser (ρMeer = 1.03 g/cm³). Die Flasche (inkl. Brief) hat eine Masse von 680 Gramm, das Volumen über alles misst 1.33 Liter.

a) Welches Volumen Meerwasser wird von der schwimmenden Flasche verdrängt?

b) Nun läuft Meerwasser in die Flasche ein. Ab welchem Wasservolumen beginnt die Flasche zu sinken? Die Masse der Luft kann vernachlässigt werden.