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hello thermische ausdehnung

Δ ℓ = α·ℓ·Δ ϑ           Δ V = γ·V·Δ ϑ                 γ = 3 α

Aufgabe 1

Ein Stab ist bei 20 °C 298 mm lang. Wird er auf 47 °C erwärmt, dehnt er sich um 0,186 mm aus. Der Längenausdehnungskoeffizient des Stabwerkstoffs ist zu berechnen.

Aufgabe 1

a) Um wie viel verlängert sich ein 120 cm langer Kupferstab, wenn er von 0 °C auf 40 °C erwärmt wird ?

b) Aus welchem Material ist ein ursprünglich gleich langer Stab, der sich bei der gleichen Erwärmung um 1.15 mm ausdehnt?

Lösung: Δ = 120·40·14·10-6 = 0.0672 cm

 αa = 0.0115/120 40 = 2.3958333 10-6 Aluminium

Aufgabe 2

Ein um die Erde gelegter Eisenring von 40000 km Länge wird um 1 °C erwärmt. Wie weit würde er von der Erdoberfläche abstehen?    α = 12·10 1/°C

Lösung:     Δℓ = 40 000 km ·12·10 1/°C · 1 = 0.480 km

Delta u = 2π r – 2π r = 2π (r-r) = 2π Δ r

Δ l = 2π ·Δr → Δr = Δ l/2π = 0.480 km/2π = 0.0763943726841097 = 76 m

Aufgabe 3

a.) Wie gross ist der (maximale) Längenunterschied eines Brückenträgers aus Stahl, wenn die Ausgangslänge bei der Temperatur 20 °C 350.00 m beträgt und Sommertemperaturen bis 50 °C sowie Wintertemperaturen bis -30 °C erwartet werden.

b.) Wie lang ist der Träger bei diesen extremen Temperaturen.

Verwenden Sie α = 12·10/°C für den Längenausdehnungskoeffizienten von Stahl.

Lösung:

350·12·10 ·30 = 0.126 m →  350.126 m

350·12·10⁶·50 = 0.210 m → 349.790 m

total 0.336 m

Aufgabe 4

a) Berechnen Sie den Durchhang h bei +30 °C.

b) Berechnen Sie die Temperatur, wenn der Durchhang 1.5 m beträgt.

Annahme: Bei -20 °C ist die Kupferleitung gestreckt. Abstand der Masten: 2 s = 50 m. Der Kreisbogen wird durch 2 Strecken angenähert.

 Lösung:

30°C

Δℓ = 50·16.5·25 = 0.020625

Δh = √ {25.020625² – 25²} = 1.016 m

 = √ {25² + 1.5²} = 25.04495957273

Δ = 0.04495957273

ΔJ = 108.992903 also 89 °C

Aufgabe 5

Aus dem Überlaufgefäss einer thermischen Solaranlage sind 0.200 l des Wärmtransportmediums ausgelaufen, nachdem die Temperatur sich –aufgrund des Defekts der Umwälzpumpe - von 60,0° C auf 100 ° C erhöht hatte. Für die verwendete Wasser-Glykol Mischung wird ein mittlerer Wärmeausdehnungskoeffizient γ = 70⋅10−5 angenommen.

Wie viel Medium befindet sich insgesamt im Anlagenkreislauf?

Lösung: 0.2 = x 70 10-5 40 → x = 7.1428571428571428571428571428571 Liter

Aufgabe 6

Benzin besitzt den Volumenausdehnungskoeffizienten γ = 9·10 K-1 und bei 20°C die Dichte ρ = 744 kg/m³. Man bezieht an einer Tankstelle 75 Liter Benzin.

a) Um wieviele Kilogramm Benzin handelt es sich, wenn die Temperatur 20 °C beträgt?

b) Um wieviele Kilogramm Benzin handelt es sich, wenn die Temperatur 5 °C beträgt?

Aufgabe 7

a) Welche Dichte hat Quecksilber bei 100 °C?

b) Bei welcher Temperatur ist seine Dichte 13.3 kg/dm³?

Quecksilber hat eine Dichte von 13.6 kg/dm³ und bei 20 °C einen Volumenausdehnungskoeffizienten von 18 ⋅10⁻ K-1 .

Lösung: a) 13.40 kg/dm³ b) 143 °C

a)

ΔV = 80·18· ⋅10⁻ = 0.0144

V = 1.0144

ρ = 13.6/1.0144 = 13.406940063 kg/m³

b)

V = 13.6/13.3 = 1.022556

ΔV = 0.02255

ΔT = 0.02255/18 ⋅10⁻ =125.27777777777 ohne Korrektur

T = 145

Aufgabe 8

Der Benzintank eines Autos fasst 100 Liter. Er wird an einem kalten Morgen bei einer Temperatur von 0 °C bis zum Rand gefüllt. Wie viel Benzin fliesst aus, wenn die Temperatur tagsüber auf 30 °C ansteigt? (Für Benzin ist g = 8·10⁻⁴, Die Ausdehnung des Tanks wird vernachlässigt)

Lösung:

V = V· γ ·Δϑ = 100 · 8·10·30 = 2.4 Liter


 Aufgabe 9

Bei der Arbeit im Labor füllen Sie einen 1.000-l-Glaskolben bei 10°C bis zum Rand mit Wasser. Wie viel Wasser wird überlaufen, wenn die Temperatur von Kolben und Wasser auf 30°C ansteigt?

Daten: Wasser           γ=  0.207· 10³       Glas    α=  3.2 ·10⁶ 

Lösung:

Δ V = 1000 · 0.207 · 10³ · 20 = 4,14 cm³

Δ V = 1000 · 3·3.2 · 10 ·20 = 0,192 cm³

Δ V = 4.14 – 0,192 = 3.948 cm³

 

Aufgabe  10

Auf einen Petroleum gefüllten Glaskolben (αGlas = 8⋅10) vom Inhalt 72 cm³ ist eine Kapillare(d = 2 mm) aufgesetzt. Bei der Erwärmung von 17.0 °C auf 23.7 °C steigt die Flüssigkeitssäule in der Kapillare um 136 mm. Welchen Ausdehnungskoeffizienten hat das Petroleum?

Lösung: Δ V = π·136 mm² = 427,2566008 mm³ = 427.3 mm³

ohne Ausdehnung des Glases

 γ = Δ V ÷ V Δϑ= 0.427 ÷ 72 6.7 = 8,85157545605·10⁻⁴

mit Korrektur 

Υ = 8.852·10 + 3 8 ·10 = 9.092·10⁻⁴

Lösung: ohne Ausdehnung Glaskolben

Korrektur Glas:

γ = 8.852 · ·10⁻⁴ + 3 · 8  ·10 = 9.092·10⁻⁴

 Kapillare:

 Ausdehnung Glas: Δ V = 3 · 8 ·10· 72 · 6.7 = 0,0115776 cm³

total ΔV = 0.439 cm³ γ = 0.439 over 6.7 72 = 9,1003316749·10⁻⁴


Aufgabe 12

Ein Bimetallstreifen ist aus Zink- und einem Eisenplättchen von je 2 mm Dicke zusammengeschweisst. Bei der Umgebungstemperatur, die zu 2 °C angenommen wird, ist der Streifen eben. Wie gross wird der Krümmungsradius bei 200 °C?

Daten:     Eisen α = 12 ·10 1/°C         Zink: α = 30.2 ·10 1/°C

Lösung:

r+2 mm div r = 1 + 30.2 · 180·10 · 180 over 1 + 12 · 10 · 180

r+2 mm over r = 1,005436 over 1,00216 = 1,003268939091562

0.003269 · r = 2 mm → r = 611,819291819

Innenradius     610.8 mm                        Aussenradius 614.8 mm                Kernradius 612.8 mm


 

Aufgabe 13

Das GALILEI-Thermometer besteht aus einem großen, geschlossenen, mit Flüssigkeit (z.B. Ethanol) gefüllten Glasbehälter mit bunten darin schwebenden wiederum flüssigkeitsgefüllten Glaskugeln.

Die Kugeln schwimmen, schweben oder liegen am Grund - je nach Auftrieb. Steigt die Temperatur der Flüssigkeit im großen Behälter, so nimmt deren Dichte ab und somit nach dem Gesetz von Archimedes auch der Auftrieb der Kugeln. Schwebende Kugeln sinken herab, schwimmende Kugeln beginnen zu schweben.

Sinkt dagegen die Außentemperatur, so beginnen am Boden liegende Kugeln zu schweben, schwebende Kugeln zu schwimmen.

Sind die Dichten der Kugeln auf die verschiedenen, temperaturabhängigen Dichten der Flüssigkeit abgestimmt, ergibt sich eine - zwar grobe, aber dekorative - Möglichkeit der Temperaturmessung.

Bei der Herstellung des Thermometers werden die Glaskugeln, nach deren Dichte gestaffelt in den großen Zylinder eingefüllt. An jeder Kugel hängt ein Schildchen mit entsprechender Temperaturangabe. Die Kugeln ordnen sich nun untereinander an, die unterste der oben schwimmenden Glaskugeln zeigt die Temperatur der Flüssigkeit an.

Das Volumen einer Glaskugel sei VK = 10 cm³, als Flüssigkeit werde Ethanol (Dichte bei 0 °C: ρ₀ = 0,79 g/cm³; Volumenausdehnungskoeffizient γ=1.1⋅10⁻³ /1°C) verwendet. Entwickle eine Formel, die das Volumen der Flüssigkeit V(ϑ) in Abhängigkeit vom Anfangsvolumen V0, dem Volumenausdehnungskoeffizient γ und der TemperaturänderungΔϑ darstellt.Entwickle daraus eine Formel für die temperaturabhängige Dichte ρ(ϑ) in Abhängigkeit von ρ₀. Berechne, um wie viel sich die Masse der von der Kugel verdrängten Flüssigkeit ändert, wenn sich die Temperatur um 1 °C erhöht. Berechne weiter, welchen Massenunterschied also die Kugeln mit den Marken 22 °C und 24 °C haben sollten.

 

Lösung:        Ausdehnung Glas etc wird vernachlässig, Näherung 1/(1-x) ≈1+x für x << 1

Es wird angenommen, dass Ethanol eine regelmäßige Ausdehnung zeigt. Dann gilt

ΔV=γ⋅V⋅Δϑ⇒V(ϑ)=V + ΔV=V + γ⋅V⋅Δϑ = V⋅(1+γ⋅V⋅Δϑ)

 

Für die Dichte gilt

ρ(ϑ)=m÷V(ϑ)=m÷{V⋅(1+γ⋅Δϑ)} ={m/V₀}⋅{1 -γ⋅Δϑ}=ρ⋅{1-γ⋅Δϑ}

 

Für die Änderung der Dichte - wenn sich die Temperatur um 1 °C erhöht - gilt

Δρ=ρ(ϑ) - ρ−ρ(ϑ)=- ρ₀·γ⋅Δϑ

 

Einsetzen der gegebenen Werte liefert

Δρ = 0,79 g/cm³⋅1,1⋅10³ 1°C = 8,7·10 g/cm³


Für die Massenänderung gilt:

Δm = Δρ·VK=8,7·10g/cm³⋅10 cm³=8,7⋅10³ g ≈ 9 mg

 

Damit müssen die Kugeln mit den Marken 22 °C und 24 °C (Temperaturunterschied 2 °C) einen Massenunterschied von 2⋅9 mg = 18 mg haben.

Aufgabe 14

Das Stahlgehäuse (αS = 12·10 K-1) eines Transformators vom Leervolumen 300 l  (bei 20°C) ist mit Öl (γÖ = 0,00096 1/°C) gefüllt. Der darin befindliche Transformator besteht in der Hauptsache aus 500 kg Eisen (ρE = 7,75 g/cm³ , αE = 12·10 K-1) und 500 kg Kupfer (ρK = 8,93 g/cm³ , αK = 14·10 K-1). Wie viel Öl fließt bei der Betriebstemperatur von 60 °C in das Ausgleichsgefäss über?

Lösung: Bei einer Betriebstemperatur von 60°C laufen 6,66 l Öl in das Ausgleichsgefäß.

Aufgabe

Ein 10 cm langer Bimetallstreifen aus je a = 1 mm dickem Zink- (αZn = 36·10⁻⁶ 1÷{°C}} und Kupferblech () αCu = 14·10⁻⁶{1 over {°C}} wird um 50 °C erwärmt.

Um hebt sich der Streifen von dem in halber Höhe befindlichen Kontakt K ab?

Lösung: noch falsche Lösung

Δl = 0.18 mm für Zink

Δ l = 0.07 mm für Kupfer

φ ( r+0.5) = 100+0.18

φ ( r-0.5) = 100+0.07

r= 910.227 mm

φ = 0.11 = 6.3025°

dr = √{911.227² – 50²} = 909.854

d = 1.373 mm