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Aufgaben zu Umformungen von Logarithmen und Logarithmengleichung

Aufgabe 1
Vereinfachen Sie soweit als möglich
a)    x = log₁₀ (2) + log₁₀(5)
b)    x = lb (⅔) + lb(¾)
c)    x = log₃ ( 9 lb ( lb ( 256 ) )        Def.: lb(2) = log₂ (2) = 1
d)    x = log₃( 2 )- log₃( 8 - 4 b ) + log₃ ( 36 - 18 b ) 
Lösung:    a) x= 1   b) x = -1  c) x = 3 d) x = 2
₁₁₂₃₄⁴⁵

¾⁸₀₃⅙₁₂⅓⅔⁴⅕⅖¾

Aufgabe 1

Vereinfachen Sie:

a)   log( 119/)  +  log( 105/) + log( 4/17 )      Lösung:     log( 140 )

b)  2 log( 5 )  + log( 27 )log( 15 )        Lösung:     log(5)

c)  log ( a b ) + log( a/b ) – 2 log ( a )            Lösung:     log( 1 ) = 0

d)  lg(119/21) + lg(105/14) + lg(4/17)                   Lösug:         1

 

Logarithmusgleichungen

Aufgabe 2

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen:

a)     lg ( x - 1 ) = 3

Lösung: x = 1001

b)    log( x + 5 ) +log ( x - 2 )  = log ( 8 ) 

Lösung: x₁=3    x₂ = -6 (Schein)

c)    log (x + 5 ) + log (x - 2 ) = log ( 60 )

Lösung: x₁ = 7;  x₂ =-10 (Schein)

 i)    3 lg( x - 1) – 2 lg (27) = 0

Lösung:    x = 10

 

Aufgabe 3

a)   lg  ( x ) = 1 – lg ( x – 3 ) 

Lösung:  x₁ = 5    (x₂ = -2)

b)   lg x = 2 - lg ( x – 15 )   

Lösung: x = 20

c)    lg ( 5 x ) = 2 - lg ( x - 1 )

Lösung: x₁ = 5             x₂ = -4(Schein)

d)    lg ( 2 x ) = 1 – lg (x -4)     

Lösung: x₁ = 5            x₂ =  -1      (Schein)

log (x+ 7) + log2 (x) = 3        Lösung:    (x+7) x = 8           →x² +7x  -8 = 0        (x+8)·(x-1) = 0        x =1         x = -8 (nicht im Definitionsbereich)

 


 

f)    log (x + 3) + log( x - 2) = 1 +  log  (x )       Lösung:     (x+3)(x-2) = 2 x → x =3; x = -2 ("Schein")

                                


 

 g)   ( lg ( x ) - 1)  ÷ (2 lg( x ) + 1 ) = 1 ÷5      

 x = 100

 h)   2 ( lg (  x  ) )² - 5 lg ( x ) - 3 = 0 

 x = 1000

 k)    [log ( 2 x )]² – 7 log (2 x) + 12 = 0

x = 500 und x = 5000

j)    lg(x) [lg(x) -5 ] +6 = 0 

 x1 = 100 und x = 1000

 

₁₁₂₃₄⁴⁵

 log ₂(x) - ln3 div ln2 = 2- log₃(2) -log₂(x-3)        Lsg:     x = 4    (x = -1 Schein)

12ln(x) = 2 · 3ln(x)  →ln(x) = ½ → x = √e

 

 

Aufgabe 2

Stellen Sie in der Form z · 10n, wobei -10 < z < 10 die Zahl:

243112609    wobei lg(2) = 0.3 und lg(5) = 0.7

 Lösung:

 lg (243112609) = 43112609 · lg 2 = 12933782.7

also:  1012933782.7 = 10 0.7 · 10 293378  = 5·101293378 

 

Lösen von Exponentilagleichungen

Aufgabe

Lösen Sie die folgende Gleichung exakt mit Hilfe des Zehnerlogarithmus:    

a)    3x-1 = 4            Lösung: (x-1)·lg 3 = lg 4  →x = (lg 3 + lg 4)/ lg 3

b)   0.4 · 7x = 8              Lösung:    x  lg 7 = lg 20→ x = lg20/lg 7

Aufgabe 1

Lösen Sie folgende Gleichungen nach x auf. Kontrollieren sie jeweils ob es keine „Scheinlösung“ist.

a) lg(x³) - lg(x) = 4

Lsg: 2 lg (x) = 4 →x =100

b) x^{lg(x)} - 10000 = 0

Lsg: lg x · lg x = 4 lg(x) = +-2 →x1 = 100, x2 = 0.01

c) 2 · ln ( x + 5 ) = ½ ln(x rsup 4)

Lsg.:  (x + 5)²= x² → 10 x + 25 = 0 → x = -2.5

d) lg (2 over {x² – 2} ) + lg( 5 x ) = 1

Lsg: 10x = 10(x² - 2) → x² -x-2=(x-2)(x+1) = 0 → x1= 2, x2= -1(Schein)

e) lg(x + 4) + lg (x) = 2 · lg( x + 1 )

Lsg.: (x + 4)·x=(x+1)² → x²+ 4 x = x²+ 2 x  + 1 → x = ½

 

f) 3^{x-1} = {1÷27}·3^{2·x}

3^{x-1} = 3^{2 x-3 }→ x = 2

(x-1) ln(3) = -3 ln(3) + 2x ln(3) → x - 1 = - 3 + 2 x → x = 2

g)

(lg (2 x ))² – 7 lg( 2 x ) + 12 = 0

Lösung:    (lg(2x) - 3)·(lg(2x) -4) = 0     →x₁ = 500 und    x = 5000

 

h) x³ = 10 · x rsup {1 + lg (x)}

Lsg.:

3 lg x = lg 10 + (1+lg(x) ) ·lg(x)

0= [lg(x)]² – 2 lg x + 1 =(lg(x)-1)·(lg(x)-1) → lgx= 1 → x= 10

Aufgabe 2

lg(5) =0.7 und lg(2) = 0.3

Gegeben ist die Exponentialgleichung

a^x – 5^ {x+1} + 4 =0

a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge wenn a = 1 ist?

b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge wenn a = 25 ist.

Lösung:

a) a = 1 5 = 5 rsup x+1 → x = 0

b) a = 25 5 2x – 5 5x +4 = 0

(5 rsup x -4)( 5 rsup x – 1) = 0

x= 0 und x = ln4/ln5 ≈ 6/7

Aufgabe 4

Es gilt: log( x + y ) = 2

Berechnen Sie den Wert des nebenstehenden Terms:    log(x - y) + log (√{x + y} ) – log ( {x² – y²} ÷ {(x + y)² } )

Lösung:        log √{x+y} + log (x+y) = 3

Aufgabe 5

Vereinfachen Sie folgende Terme. Es soll jeweils nur noch einmal ein Logarithmus vorkommen.

Hinweis: lg[f(x)]

a) 2 lg(x - 2) –  lg (x² - lb (16) )

b)  5 lg ( x + 2 ) – 0.2 lg( x - 2) – 4 lg( x + 2) – 0.8 lg( x - 2)

Lösung:

a) lg[(x-2) ÷ (x + 2)]

b) lg [ (x+2) ÷ (x - 2)]