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Aufgaben zur Vektorgeometrie

Kommt ein Vektor zur Drogenberatung: "Hilfe, ich bin linear abhängig."

Kommt ein Nullvektor zum" Psychiater: "Herr Doktor, ich bin orientierungslos!

Aufgabe 1

Von einem Trapez ABCD sind die drei Eckpunkte A(17/-18/-1), B(5/-2/3) und D(13/-12/2) gegeben.

Bestimmen Sie den Punkt C so, dass die Seitenlänge b = BC = 3 misst.

Aufgabe 2        Addition und Subtraktion von Vektoren

Gegeben sind die folgende Vektoren:     u = ( -3 / 1  / 2  )T    ,     v = (4/  0  / -8 )T    und

                           w = ( 6 / -1 /-4 )T

Bestimmen Sie die Komponenten von:     i)  uv        ii)             6 u + 2 w

Lösung:                  i)   u - v = ( -7 / 1 / 10 )T     ii) u  + 2  w  = (-6/4 / 4 )T

Aufgabe 3

(a) Welche Koordinatengleichung hat die Gerade durch Höhe hc im Dreieck ABC, wenn A(1/1), B(8/2) und C(4/10) ist? Wie lang ist dann die Höhe hc?

(b) S ist der Schwerpunkt des von a , b aufgespannten Dreiecks und T ist der Schwerpunkt des kleineren Dreiecks.

Berechnen Sie x, y und z  je als Linearkombination von a , b .


Aufgabe 4        Betrag von Vektoren und Mittelsenkrechte

Gegeben sind die Koordinaten der Punkte A = (-1 / 1) und B = (3 / - 2).

a) Bestimmen Sie den Vektor AB sowie dessen Betrag AB .

b) Bestimmen Sie die Mittelsenkrechte zwischen A und B in der Form  OX = OP + t PQ

Lösung:     a)  AB = (4,-3)T        AB = √ 25 = 5                 b)  OX = (1,-0.5)T + s ·(3,4)T

 

 

alternative über Abstände

 (x + 1)² + ( y - 1)² = ( x – 3 )² + (y + 2)²

 x² + 2 x + 1 + y² - 2 y + 1 = x² - 6 x + 9 + y² + 4 y + 4

8 x - 11 = 6 y

y = 4/3 x - 11/6             Kontrolle: x = 1 y = - ½


 

Aufgabe 5    Linear Kombination

Es gilt: M ist der Mittelpunkt der Strecke und S ist der Schwerpunkt des Dreiecks ABD

Stellen Sie den Vektor SM als Linearkombination von b = AB, c = AC  und d = AD dar.

Lösung:     AM = ½ ( d )         

                    AS = ⅓ ( b + d + 0)

                    SM = AM – AS = ½ (c + d) – ⅓ (b + d) = ½ c + 1 ÷ 6 d –  b

 

 

 


 

Aufgabe 6     Pyramide

Eine Pyramide wird durch die drei Punkte A(5/-2/0), B(-4/3/0), C(1/6/-3) und die Spitze D(-1/-1/10) gebildet.

a) Bestimmen Sie die Länge der Kante BD.

b) Bestimmen Sie die Koordinaten von MC im Dreieck ABC und den Schwerpunkt im Dreieck ABD.

c) Bestimmen Sie den Winkel zwischen AC und AB und die Fläche des Dreiecks ABC

d1) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden durch AB mit xz-Ebene.

d2) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden durch AC mit xz-Ebene.

e) Bestimmen Sie die Parametergleichung und die Koordinatengleichung der Ebene E, die die Punkte A, B und C enthält.

f) Berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

h) Bestimmen den Schnittpunkt der Geraden durch die Punkte P(-3/4/5) und Q( 0/2/4) mit der Ebene E.

Lösung:    a) BD = 11.18            b) Mc(0.5/0.5/0)    S(0/0/3.333)  

                   c)  β =  38.51°, A = 30.24                         d)     (1.4/0/0)    (4/0/-0.75)   

                   e)     E: 15  x + 27 y+ 52  z = 21                 f)     Sx (7/5   /  0   /0  ) etc  

                   g)    h= 7.55    V = 76.104 

                   h)     SgE(-9/0/3)

Aufgabe 7

Berechnen Sie den Schwerpunkt und die Länge der Schwerlinie sa des Dreiecks A(-1/3/7), B(-5/4/3), C(6/-4/-4).

Lösung:    M rsub BC = (0.5/0/-0.5)

S(0/1/2)

sa = (  1.5 / -3 / -7.5 )

sa= 1.5 √ {1+ 2² + 5² } = 1.5 √ 30

 


 

Aufgabe 8    Betrag

Welche Punkte auf der y-Achse haben vom Punkt A(12/12/-6) doppelte Entfernung wie vom Punkt B(6/15/3)?

Lösung:

YA = 2 YB

(0 - 12)² + (y - 12)² + (0+6)² = 4 [(0-6) ² +(y - 15) ² +(0-3)² ]

 144 + y² -24 y+ 144 + 36 = 4 [36 +y² - 30y +225 +9]

y² -24 y +324 = 4 [ y² -30y +270]

0 = 3 y² – 96 y + 756

0= y² -32 y +252     →    0 = ( y - 14 ) · ( y - 18 )

Kreis des Apollonios

Innen: (8/14/0)     Aussen: (0/18/12)     M(4/16/6)         r² = 16+4+36=56

(x-4)² +(y-16) ² + (z-6) ² = 56

16 + (y - 16)² + 36 = 56

(y - 16)² = 4 → y1 = 18     y2= 14


 

Aufgabe 6

Gegeben Sind die Punkte B(1/3/2) und C(1/-1/5) sowie der Winkel ABC = 45°- Berechnen Sie die x-Komponente A(x/7/-1)

Lösung:

Aufgabe 9    Skalarprodukt, Dreieck

Berechne die Seitenlängen, die Innenwinkel und den Flächeninhalt des Dreieckes ABC mit Hilfe des Skalarproduktes.

A(2∣3∣0), B(−1 ∣ 10 ∣ −4) und C(−2∣0∣7)

Lösung:

AB = √ 74     BC= √ 222 = √ 3 · √ 74                     CA = √ 74

Gleichschenklig, β = γ = 30 °

 

AB ·AC = AB · AC ·cos α         →        -37 = √ 74 √ 74 cos α   →        -0.5 = cos α     →         α = 120°

A = ½ c · b sin α =½ √ 74 √ 74 · sin 120° = 37 sin 120° = 32.0429 = 32


Aufgabe 10    Skalarprodukt

Von einem Dreieck sind die Ecken A( 0 | 0 | 0 ), B(1|5|2) und C(2|2|4) gegeben. Bestimmen Sie die Koordinaten des Höhenfusspunktes Hc.

Lösung:   Hc = s·(1/5/2)        HcC ( 2-s/2-5s/4-2s)T       AHc =(1/5/2)

 Skalarprodukt:    AHc · HcC = 2-s +10-25 s + 8- 4s = 0  →     20 = 30 s → s = 2/3

                HC( 2 div 3 / 10 div 3 / 4 div 3 )

 

oder  (2 - s )² +(2 - 5 s)² +(4 - 2 s)² = 4 - 4 s+ s² +4 - 20 s + 25 s ² + 16 - 16 s + 4 s²

30 s² - 40 s +24  → max für s = 40 over 60 = 2/3


Aufgabe 11    Skalarprodukt

Bestimmen Sie den Punkt P auf der y-Achse so, dass der Vektor mit der y-Achse einen Winkel von 60° einschliesst. Der Punkt A hat die Koordinaten (4/6/3).

Lösung:

P = (0 / y / 0)

PA = ( 4 / 6 - y / 3)T         ey = ( 0 / 1 / 0)

 6 – y = √ {61 – 12 y + y2}· ½

 144 – 48 y + 4 y² = 61 – 12 y + y²

 3 y² – 36 y + 83 = 0         y1 = 8.886        y2 = 3.113


Aufgabe 12        Skalarprodukt

Für welches u ist der Zwischenwinkel der beiden Vektoren 30°, wenn die Vektoren a = (u / -2/1 )T und b = (u /1 /3 )T gegeben sind.

Lösung:

u2+1=√{u2+5} · √{u² + 10} √{3 over 2}

TR(solve)     →    x1 = -6.37153, x2= +6.3713


Aufgabe 13    Linearkombination von Vektoren

Die Diagonalen e und f eines Parallelogramms sind durch die Vektoren  e = (13/8)T und  f = (-10/7)gegeben.

a) Bestimmen Sie die Vektoren a und b der Parallelogrammseiten.

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogrammes.

Lösung:

e = (13 / 8)T und f = (-10 / 7)T

a = ½ ( e - f ) = (11.5 / 0.5) T             b = ½ (e + f) = (1.5 / 7.5) T

a = 11.5108

b = 7.6485

a · b = 21

cos α = 21/(11.51 · 7.64) = 0,23880895738    →    α = 76,18 °

A = a · b · sin α = 85,39072 = 85.4

e x f = 171 → A = 85.5

A = a x b = 85.5

 

Aufgabe 14

Gegeben ist der Würfel ABCDEFGH. Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Seite  GH. Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck so weit wie möglich.

a)     GC –  HB +  HA

b)     3 CM + FB – ½ (  AH + 2  BE)

Verwenden Sie als Basis:     AB; AD und  AE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lösung:

a)    GC = - AE        HB = - AD - AE + AB            HA = - AD - AE

-AB -AE

 

b)    CM = AE - ½ AB        FB = - AE        AH = AD + AE        BE = - AB + AE

½ AE – ½ AB – ½ AD

 


Aufgabe 15        Durchstosspunkt; Schnittpunkt Gerade mit Ebene

Eine Gerade geht durch P(4;5;-1) und Q(-7;8;-9). Bestimmen Sie den Durchstosspunkt R mit der Ebene E: x + 3 y - 2 z = 7

Lösung:

g: x = (4/5/-1)T+ t(-11/13/-8)T

 

4 - 11 t + 15 +9 t+2+16 t = 7 → 14 t = -14 → t = -1

D(15 / 2/ 7)         15 + 6- 14 = 7 korrekt


 

Aufgabe 16    Schnittpunkt Gerade und Ebene

Gegeben sind die zwei Punkte A(2/0/6), B(3/5/2). Bestimme die Koordinaten des Durchstosspunktes D der Geraden AB mit der xy-Ebene.

Lösung:

OX = OA + t· AB = (2/0/6)T + t · { 1  / 5 / -4  )T = ( x/y/0)

 

z = 0 → 0 = 6 – 4 t → t = 1.5        D = ( 3.5 / 7.5 / 0 ) 

 

 

 

 

 


Aufgabe 17    Darstellung einer Ebene

Bestimmen Sie eine (a) Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengeichung der Ebene E.

A (0|2|-1), B (6|-5|0), C (1|0|1)

Lösung:

(a)    OX = (0/2/-1) + s (6/-7/1)T +t(1/-2/2)T

 

(b)    nAB x AC =(-12 / -11 / -5)T

          n · AX = n · ( OX - OA )  = n · OX - n · OA = 0

          (-12 / -11 / -5) · ( x/y-2/z+1) = 0

         

(c)    -12 x -11 y + 22 - 5z  - 5 = -12 x - 11 y -5 z +17 = 0

            E: -12 x - 11 y -5 z +17 = 0        Kontrolle  0 - 22 + 5 + 17 =0

 

Punkte in Koordinatengleichung einsetzen

            2 B -C = D                 (I)

            6 A - 5 B  = D             (II)

            A + C = D                     (III)

 

            A + 2 B = 2 D            (IV) = (I) + (III)

            6A - 5 B = D             (II)

 

            6A + 12 B = 12 D           (V) = 6(IV)

            6A- 5B = D                    (II)

 

 (V) - (II)    17 B =  11  D           drarrow B = 11 over 17 D

(IV)            A = 2D - 2B = 12 over 17 D

(III)            C = D - A = D - 12 over 17 D = 5/ 17 D

 

D = 17

12 x + 11y + 5 z = 17


Aufgabe 18

Die Punkte A( 0 / 0 / 4),  B(5 / 0 /0 ) und C( 0 / 4 / 0) legen eine Ebene E fest.

a) Bestimmen Sie eine mögliche Parametergleichung und eine mögliche Koordinatengleichung der Ebene.

b) Welchen Abstand hat die Ebene vom Ursprung?

Lösung:

a)     x/5 + y/4+z/4 - 1  = 0        4 x + 5 y + 5 z - 20 = 0

OX  =  OA  + ⋅t · AB + ⋅s ·  AC = ( 0 / 0 / 4)+ t ·(5 / 0 /-4 )+ s ·  left(matrix { 0 / 4 / -4 } right)

b)     d =  20 ÷ √{66} =2.46182981 = 2.462         Hessesche Normalform

Alternative:

gn: x = t(4,5,5)

g∩E → 16 t+25 t + 25 t -20 = 0    → t = 20/66

S = 20/66 (4/5/5)     d = betrag OS = 20/66 ·√ 66 = 20/√ 66


 

Aufgabe 19    Skalarprodukt

Von einem gleichschenkligen Trapez ABCD kennt man die Eckpunkte A(1; 2; 1), B(3; 3; 5) und D(0; 0; 2).

Berechnen Sie die Koordinaten des Eckpunktes C.

 

Lösung:    OC = (0/0/2)T + s (2/1/4)T = (2s/s/2+4s)T)T

AD · AB = BA · BC

(-1 /- 2/ 1)· (2/1 /4) = (-2/-1/ -4)· ( 2s-3/ s-3/ 4s -3)

 

0= -4 s + 6-s + 3 -16 s +12 → s = 1             Hinweis: AD und AB stehen senkrecht zueinander → Rechteck

C ( 2 / 1 / 6)

Beispiel: Senkrechte und Minimaler Abstand


Aufgabe 21   Hessesche Normalform

Die Punkte 1|0); B(7|7|2); C(1|7|4) und ) bilden eine Raute, diese wird mit dem Punkt S(7|2|4) zu einer Pyramide verbunden! 

Wie groß ist die Höhe? 

Lösung:

7 A + 1 B = D

7 A +7 B + 2 C = D

1 A+1 B + 2 C = D

 

7 A + 1 B = D

6 A + 6 B = 0

 

7 A + B = D

A+B = 0

 

6 A = D        A = D/6

B = - D/6

2 C = D        C = D/2

 

D = 6

x - y +3 z = 6


|)

q = (7 - 2 + 12 -6 )/√ 11 =11/√ 11 = √ 11 = 3,31662479035 = 3.316

xx

 


Aufgabe 22

Die Punkte A(8 / 0 / 0) , B(8 /12 / 0), C (0 /12 / 0), D(0 / 0 / 0), E (0 / 0 / 6), F (0 /12 / 6) bilden ein dreiseitiges gerades Prisma. Der Punkt M ist der Diagonalenschnittpunkt des Rechtecks ABCD.

a) Berechnen Sie das Volumen des Prismas ABCDEF.

b) Berechnen Sie den Betrag der Vektoren ME und MF sowie den Winkel, den die beiden Vektoren einschliessen.

c) Der Punkt P liegt exakt in der Mitte zwischen den Punkte M und E. Geben Sie eine Parametergleichung der Geraden g: FP an (Gerade durch die Punkte F und P). Bestimmen Sie zudem den Durchstosspunkt der Geraden g mit der x-z-Ebene.

d) Die Punkte A, C, und P legen die Ebene ε fest. Geben Sie eine Koordinatengleichung der Ebene ε an.            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lösung:            a)           DA = 8;    DE = 6        DC = 12

               Volumen V = ½ 8 · 6 · 12 = 288

                           b)         M = (4/6/0)           ME = (  -4 / -6 / 6 )T

                                                    MF = ( -4 / 6 / 6 )T

16 = √88·√88 · cos α → α = 79.52°

c)     P (2/3/3),    F (0 /12 / 6)

g(FP) :OX = (0 / 12 / 6 )T + t · (2 / -9 / -3 )T

y = 0 → t = 4 div 3

S rsub y (8 ÷ 3/ 0 / 2)

d) 8 a + 0 b + 0 c = 1  → a = 1/8

0 a + 12 b + 0 c = 1 → b = 1/12

 2 1/8 + 3 1/12 + 3 c = 1 → c = 1/6

 1/8 x + 1/12 y + 1/6 z = 1

 3 x + 2 y + 4 z = 24


Aufgabe 23        Abitur Bayern 2016

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte A (6 | 3 | 3) , B (3 | 6 | 3) und C (3 | 3 | 6) das gleichseitige Dreieck ABC fest.

a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck ABC liegt, in Normalenform.

Spiegelt man die Punkte A, B und C am Symmetriezentrum Z (3 | 3 | 3) , so erhält man die Punkte A', B' bzw. C' .

b) Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte A, B und Z liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke [CC'] senkrecht auf dieser Ebene steht.

c) Begründen Sie, dass das Viereck ABA'B' ein Quadrat mit der Seitenlänge 3√2 ist.

Der Körper ABA'B'CC' (in der Originalaufgabe ist der Körper beispielhaft abgebildet, Anm. d. Red.) ist ein sogenanntes Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat ABA'B' als gemeinsamer Grundfläche und den Pyramidenspitzen C bzw. C'.

d) Weisen Sie nach, dass das Oktaeder das Volumen 36 besitzt.

e) Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen ABC und AC'B.

f) Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eine Gleichung dieser Kugel an. Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen.

Aufgabe 24

Gegeben sind die Punkte A(5/0/5), B(1/2/3) und C(2/3/6).

a) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D.

D liegt auf der y-Achse und hat von den Punkten A und B den gleichen Abstand.

b) Berechnen Sie vom Dreieck ABC die Länge der Grundlinie AB und den Winkel γ = %winkel ACB

Aufgabe 25

Von einer geraden quadratischen Pyramide mit der Grundfläche ABCD in der xy-Ebene und der Spitze S kennt man die Punkte A(8/2/0), B(16/8/0), C(10/16/0) und S(9/9/9).

a) Berechnen Sie die Koordinaten des vierten Eckpunktes D der Grundfläche.

b) Zeigen Sie, dass die 5 Punkte tatsächlich eine gerade quadratische Pyramide darstellen.

c) Zur Verstärkung der Pyramide wird vom Punkt A aus eine Strebe der Länge 12 zu einem Punkt Q auf der gegenüberliegenden Seitenkante CS montiert. Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes Q (auf zwei Nachkommastellen).

Aufgabe 26

Gegeben sind die Ebene E : 2 x − 2 y − z − 12 = 0 und die Gerade g : P(15|16|13) Q(10|11|8).

a) In welchem Punkt schneidet die Gerade g die Ebene E?

b) Ein von P aus gehender Lichtstrahl geht durch Q und wird anschliessend an der Ebene E reflektiert. Wo trifft der reflektierte Strahl auf die Ebene z = −56?

Aufgabe 27

Gegeben sind die Punkte A(6/0/4), B(4/-2/2) und C(-2/4/2).

a) Ergänzen Sie das Dreieck zum Parallelogramm ABCD und berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D.

b) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes A ', wenn man A an B spiegelt.

Lösung:    D(0/6/4) und A' (2/-4/0)

Aufgabe 28

Die Punkte A, B, C und D im dreidimensionalen Raum haben die Koordinaten: A(1/0/0); B(3/0/2); C(2/1/0); D(x/2/2).

Berechnen Sie die Koordinate x vom Punkt Dso, damit die vier Punkte in einer Ebene liegen.

Lösung:

1 = a; 1= 3 a + 2 c ; 1 = 2 a + b→Koordinatengleichung:    x - y - z = 1

x  - 2 - 2 = 1  → x = 5

Aufgabe 29

Gegeben ist der Punkt C (1/2/1) sowie eine Gerade g(x) = 2 x + 1 in der x-y-Koordinatenebene.

Berechnen Sie den Punkt Q auf der Geraden g mit minimalem Abstand zum Punkt C.

Lösung:    d² = (1 - x)² + (2- 2 x - 1)² +1 = 5 x² - 6 x +3    ableiten: 10 x -6 = 0 → x = 0.6 →    Q(0.6/2.2/0)

                    Skalarprodukt:    (1-t) 1 +(1-2t) 2 + 1 = 0 → t = 0.6    Q(0.6/2.2/0)

Aufgabe 30

Gegeben ist eine gerade Pyramide. Die Grundfläche ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 4 cm. Die Höhe der Pyramide beträgt 8 cm. Die Ecke A hat die Koordinaten A(0/0/0).

a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Ecken B, C und der Spitze E.

b) Berechnen Sie die Vektoren  EB und  EC.

c) Berechnen Sie vom Dreieck BCE alle Innenwinkel.

d) Berechne Sie den Winkel zwischen  EB und der y-z-Koordinatenebene.  

Lösung:

 a)    B(4/0/0); C(4/4/0); D(2/2/8)

Aufgabe 31

Gegeben sind die drei Eckpunkte A(1| -2 | 3), B(5 | 2 | -5) und C(9 | 6 | -7) eines Dreiecks. Berechnen Sie den Winkel α = BAC .

Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.

 

Aufgabe 32

Für welches u ist der Zwischenwinkel der beiden Vektoren 30°, wenn die Vektoren

a = (u / -2 / -1)T und b = ( u / 1 / 3)Tgegeben sind.

Aufgabe 33

Gegeben sind die zwei Punkte A(2/0/6), B(3/5/2). Bestimme die Koordinaten des Durchstosspunktes D der Geraden AB mit der xy-Ebene.

 

Aufgabe34

Eine Gerade g geht durch die Punkte A(2 | 3 | -10) und B 6 | -2 |7). Berechnen Sie eine Parametergleichung für g.

Aufgabe 35

Die Punkte A(0/0/4), B(5/0/0) und C(0/4/0) legen eine Ebene E fest. Bestimmen Sie eine mögliche Parametergleichung und eine mögliche Koordinatengleichung der Ebene.

Aufgabe 36

Gegeben sind die Punkte R (12 | 0 | 0) und S(0|9|0) sowie die Gerade g, die parallel zur y-Achse durch den Punkt Q(1|0|5) verläuft.

Berechnen die Koordinaten des Punktes P auf der Geraden g so, dass der Winkel RPS 90° misst. Es sind alle Lösungen zu suchen.  

 

 

 

Aufgabe 37

Eine Gerade g geht durch die Punkte A ( 10 | 3 | -12 ) und B( 15 | 2 | -9 )

a) Berechnen Sie die Parametergleichung von g.

b) Liegt der Punkt P( 5 | 4 | -12 ) auf der Geraden g?

c) Die Gerade h verläuft parallel zu g durch C (3 | -2 |1). Notieren Sie die Gleichung der Geraden h.  

Aufgabe 38

Im Raum liegt die gerade Pyramide ABCDS. Von der rechteckigen Grundfläche kennt man die Koordinaten der Ecken A ( -4 | -6 |1), B (0| -1| -2) und C (4| -6 | -5), sowie die Spitze S (-3 | -6 | -6). M ist der Mittelpunkt von BS .

a) Berechnen Sie die Koordinaten der Ecke D.

b) Berechnen Sie den Vektor CM.

c) Berechnen Sie die Länge der Pyramidenhöhe FS .

d) Zeigen Sie, dass es sich um eine gerade Pyramide handelt, d.h. dass der Winkel <SFB 90° beträgt.  

Aufgabe 39

Gegeben sei die Kugel K mit dem Mittelpunkt M ( 1 / -2 / 3 ) und dem Radius r = 3

a) Bestimmen Sie den Durchstosspunkt der Kugel mit der Geraden, die parallel zur z-Achse ist und die die x-Achse bei schneidet.

b) Bestimmen die Gleichung der Tangentialebenen(Ebene, die die Kugel im Durchstosspunkt berührt) in diesen Durchstosspunkten.

xx