Ihre Browserversion ist veraltet. Wir empfehlen, Ihren Browser auf die neueste Version zu aktualisieren.

Formeln zum Kegel

s: Länge der Mantellinie

Mantelfläche:                         M = π· r ·s

Volumen:                                 V = ⅓ π r² ·h

Halber Öffnungswinkel:      sin (½φ) = r/m ;     tan (½φ) =  r/h

Aufgaben zum Kegel und zum Kegelstumpf

Aufgabe 1

Von einem Kegel sind gegeben: V = 2.5 dm3, h = 2 dm. Berechne die Länge einer Mantellinie s.

Lösung: G = 3V ÷ h = 7.5 /2 = 3.75   dm                  r = √ {G/π} = 1,09254843

m = √ {h² + r²} = 2,27896 = 2.279 dm

Aufgabe 2

Die Mantelfläche eines Kegels beträgt M = 120 cm² seine Seitenkante hat die Länge s = 8 cm. Wie gross sind Oberfläche und Volumen des Kegels?  

Lösung:     120 = α/360 π· s²   →α = 214,8591731740 = 214.9°

2·π·r =( 215°÷ 360°) 2·π· s → r = 215/360 s = 4.777 cm

h = √ {s²-r²}= 6.4171855980639 = 6.42 cm

G  = π·r² = 71.6902929833099 = 71.7 cm²

M = 191.7 cm²

V = ⅓ G·h = 153,3455366913 = 153.3 cm³

Aufgabe 2

Gegeben ist ein gerader Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 8 cm und der Höhe h = 8 cm. Auf dem Mantel dieses Kegels liegen die Punkte A und B. Der Punkt A ist 9 cm und der Punkt B ist 5 cm von der Kegelspitze entfernt. Die beiden Mantellinien auf denen A und B liegen haben den Öffnungswinkel 90°.

Wie lang ist der kürzeste Weg auf dem Kegelmantel von A nach B ?

Lösung: 


Aufgabe 3

Ein kegelförmiger Behälter mit dem oberen Durchmesser d = 8 cm und der inneren Höhe h = 10 cm wird mit Wasser gefüllt. Der Abstand der Flüssigkeit bis zum Rand beträgt 3 cm.

Wie viel Wasser befindet sich im Behälter ?

Lösung: 


Aufgabe 4

Bei einem geraden Kreiskegel ist die Mantelfläche doppelt so groß wie die Grundfläche. 

Wie hoch ist er, wenn das Volumen 100 ist ?

Lösung: 

Mantelfläche:     M = π · r · s

Grundfläche:       A = π r²

π·r·s = 2 π·r² → s = 2 r

 

h² = 4 r² – r² = 3 r² → h = r√3 

100 = ⅓ π r² √3 r = √ 3 r³

r = 3.8649728870 = 3.865

h = 6.69432941031739 = 6.695

Aufgabe 5

Eine Kreissektorfläche mit dem Mittelpunktswinkel 135° und dem Radius 8 cm wird zu einem Kegel zusammen gebogen.

Wie groß ist das Kegelvolumen?

Lösung:         s = 8 cm

2π·r = 135° ÷ 360° π· s        →        r = 135 ÷ 360 s = 3

h² = s² – r² = 8² – 32 = 64 - 9 = 55    →    h = √ 55

V = ⅓ π ·3² √ 55 = 69.89602405387  = 69.9 cm³


Aufgabe 6

Ein gerader Kreiskegel hat die Höhe h = 8 cm. Die Abwicklung des Kegelmantels in eine Ebene ergibt einen Halbkreis.

Berechne Oberflächeninhalt und Volumen des Kegels.

Lösung: 

      2 π·r = ½ 2·π s → r = ½ s → s = 2 r

     h² = 4r² – r² = 3 r² → h= r √ 3 → r = h ÷ √ 3 → r² = ⅓ h²

     V = ⅓ π r² h = ⅓ π (  ⅓h²) h = 1/9 π h³ = 178,721715404219 = 178.7 cm³

    A = πr ·s + π r² = 2 π r² + π r² = 3 π r²= 201.0619298 cm²= 201.1 cm²


Aufgabe 7

Ein gerader Kreiskegel (R, H) wird zylindrisch (Zylinderradius r) so durchbohrt, dass Kegel- und Zylinderachse zusammenfallen.

a) Berechne das Volumen des Restkörpers in Abhängigkeit von R, H und r.

b) Wie groß muss r sein, damit das Volumen des Restkörpers halb so groß ist wie das des Kegels?

 

Lösung: 


Aufgabe 8

a) Die Mantellinien eines geraden Kreiskegels schliessen mit der Grundfläche des Kegels einen Winkel von 60° ein. Der Grundkreisradius des Kegels ist 6 cm. Berechne Volumen und Oberfläche des Kegels.

b) Dem in a) gegebenen Kegel ist ein gerader Kreiskegel so einbeschrieben, dass seine Spitze im Kreismittelpunkt des gegebenen Kegels liegt. Die Mantellinien des einbe­schriebenen Kegels schließen einen Winkel von 30° ein.

Berechne die Mantelfläche und das Volumen des einbeschriebenen Kegels.

Lösung: 

Seitenansicht ergibt ein gleichseitiges Dreieck            r = 6             s = 12             h = 6√ 3

V = ⅓π 36 · 6 √ 3 = 72 √ 3 π =391.7806626 = 391.8 cm³

A= πr² + πrs = π 36 +π 6 · 12 = 108·π = 339,29200658769766975396548 = 339.3 cm²


Aufgabe 9

Ein Korken hat die Form eines Kegelstumpfs mit r1 = 18 mm, r2 = 12 mm, h = 32 mm.

Welche Masse haben 1000 Stück? (Dichte von Kork e = 0,24 g/cm³)

Lösung: V =⅓ 32 mm π (18² + 18·12 + 12²) = 22921 mm³ = 22.921 cm³

m = 1000 · 22.921· 0.24 = 5501,04 g = 5501,04 g


Aufgabe 10

Das Übergangsstück einer Lüftungsanlage von d1 =315 mm x auf d2 = 180 mm x und 500 mm Länge hat die Form eines geraden Kegelstumpfes.

Wie gross ist das Volumen des Übergangsstücks?

Berechnen Sie die Mantelfläche und die Mantellinien zur Anfertigung einer Abwicklung.  

Lösung:

a) V = π 50 (15.75² + 15.75·9 + 9²) = 52,359877559· 470,8125 = 24651,68485

b) Mantellinien m = √ 50² + 6.75² = 50,453567762845077118803000 cm

315÷80 = h ÷ (h -500) → h = 315 · 500 ÷35 = 1166,666666

m₀ = 1166.66² + 90² = 1170,1329459130321

A = π r s – π r ·s₀ = π (1170 · 157.5 – 666·90) = 391345,0552650 mm² = 3913.4 cm²

oder

A = π (s₀ - s) (r + r₀)

Aufgabe

 Ein Kreissektor mit einem Zentriwinkel von 280° wird zum Mantel eines geraden Kegels gebogen, dessen Mantellinie eine Länge von 7 cm aufweist.

a) Berechnen Sie die Oberfläche, das Volumen und den Öffnungswinkel des Kegels.

b) In welcher Höhe muss man den Kegel teilen, damit der Kegelstumpf und der Restkegel gleiches Volumen besitzt?

Lösung:

r =280 ÷ 360 s = 49/9 = 5,44444444

                h = √7² 2 – 5.44² =4,3997

O = π·r·(r + s) = π 5.444(5.444+7)= 212,85010080045122141447897297973

V =  π r² ·h = 136,5803951

tg α = 5.444 ÷ 4.4 → 51,0559 → phi = 52.12

 

A = k³ A = 0.5 A → k = nroot 3 0.5 = 0,79370052598409973737585281963615

h = k h = 0.7937 · 4.4 =3,49228231433 = hkegel

hkegelstumpf = 4.4 – 3,49228 = -0,9077176856 (ca 20%)

Aufgabe

Gegeben ist ein gerader Kreiskegel. Der abgerollte Mantel bildet einen Kreissektor mit  Zentriwinkei φ = 135° und dem Radius s = 5 cm. 
a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Mantels und den Volumeninhalt des Kegels. 
b) Eine Ameise umkreist den Kegel auf seiner Mantelfläche. Start und Ziel liegen auf der  Kreislinie der Grundfläche. Berechnen Sie den kürzest möglichen Weg.

Aufgabe 5

Gegeben ist ein gerader Kegel mit dem Grundkreisradius r = 12 cm und der Mantellinie s = 14 cm. Berechnen Sie den Radius der einbeschriebenen Kugel sowie den Radius des Berührungskreises.

Lösung:

h²= 14² – 12² = 52 → h = 2 √ 13

A = ½ g h = ½ 24² √13 = 24 √ 13

u = 24 + 14+ 14 = 52

r = 2 A ÷ u = 6 √13 ÷ 13