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Aufgabe 1

Von einem Dreieck kennt man die Seite a = 6 cm, den Winkel γ = 70° und den Umkreisradius r = 4. Berechne die anderen Seiten dieses Dreiecks.

Lösung:

2 ·4 = 6 ÷sin α = c ÷ sin 70° = b ÷ sin β

sin α = 6÷8 → α = 48.59°  und 131.4°

β =61.41° geht nicht

c = 8 sin(70°)= 7.518

b = 8 sin(61.41°) = 7.025

Aufgabe 2        Cosinussatz

Durch einen Berg wird ein Tunnel gebaut. Von einem bestimmten Ort aus sieht man die Stellen des Tunneleingangs und -ausgangs. Vom Standpunkt bis zum einen Ende des Tunnels sind es 2.7 km, bis zum anderen Ende 3.5 km. Das Mass des Winkels zwischen den beiden gemessenen Strecken beträgt 28°.

Wie lang ist der Tunnel? ( Der Tunnel wird als geradlinig angenommen)

Lösung:    c² = 2.7² + 3.5² - 2·2.7·3.5 cos (28°) = 2.8522904949 → c = 1.688845759 = 1.69 km = 1.7 km

Aufgabe 3

Zwei Strassen schneiden einander im Punkt A. Durch B wird eine Rohrleitung gelegt, welche die andere Strasse im Punkt C schneidet. Bei der Vermessung wurden folgende Masse ermittelt:

    c = 3,8 km;    b = 5 km;    β = 86°

Wie lange ist die Rohrleitung?

 Lösung:

5² = 3.8² + a² – 2 · 3.8 · a·cos (86°)

Quadratische Gleichung:

a = -2.995 km(Schein), a = 3.525 km

 

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 4    Cosinussatz

Ein Dreieckiges Grundstück hat die Seitenlängen 100 m, 73 m und 121.5 m.

Berechne die Masse der Winkel in den Grundstücksecken.

Lösung:

cos γ = (a² +b²-c²)/(2a·b) = (100² + 73² -121.5²) /(2·100 73) = 0.0388184 → γ = 87.77530521 = 87.78° gegenüber 121.5 m

cos β = (100² + 121.52 - 73²)/(2·100·121.5) =0.79972 → β =36.896415 = 36.90° gegenüber 73 m

cos α = (73² + 121.5² -100²) /(2·73·121.5 = 0.5688736681 → α= 55.32827° = 55.33° gegenüber 100 m

Aufgabe 5         Sinussatz

Um die Entfernung zweier auf verschiedenen Seiten eines Flusses liegende Punkte P und Q berechnen zu können steckt man eine Standlinie[QR] auf einer Seite des Flusses ab, visiert den Punkt P von Q und R aus an und misst die Winkel, die die Visierlinie mit [QR] bilden.

Berechnen Sie mit den angegebenen Messwerten die Länge PQ

Lösung :

PQ ÷ sin (21.8°) = 420 ÷ sin (43.8°) → PQ = 420·sin (21.8°) ÷ sin (43.8°)= 225.350038574970 = 225.35 m

 

Aufgabe 6    Sinussatz

Zwei Winkel eines Dreiecks messen 72°15' und 66° 40'. Wie lang ist die kürzeste Dreieckseite, wenn die dem Winkel 72°15' gegenüberliegende Seite 28.5 cm lang ist?

Lösung:

x÷sin (41° 05') = 28.5 · sin(72° 15') → x =28.5  sin(41° 05') ÷ sin (72°15') = 19.66 cm

Aufgabe 7

Ein Baum steht auf einem Hang, der um 10° gegenüber der Waagrechten geneigt ist. Zu einem Zeitpunkt, zu dem der Schatten des Baumes genau in der Falllinie verläuft, wird die Schattenlänge mit 12.50 m und die Sonnenhöhe mit 35° gemessen.

Wie hoch ist der Baum?

Lösung:

12.5 ÷ sin (55°) = h ÷ sin(25°) → h = 12.5 sin(25°)÷ sin(55°) = 6.449020 = 6.45 m

 

 

 

 

·Aufgabe 8

Über eine Fluss hinweg soll die Höhe eines Fabrikschlotes ermittelt werden. Dazu wird in gleicher Höhe mit dem Fusspunkt C des Schlotes eine 220 m lange Standlinie [AB] abgesteckt. Die Messung des Winkels α, den [AB] und [AC] einschliessen, und des Winkels β, den [BC] und [AB] einschliessen, ergibt α =44.5° und β = 56.2°. Als Erhebungswinkel von B aus zur Spitze des Fabrikschlotes erhält man φ= 34.8 °.

Wie hoch ist der Schlot?

Lösung:

 220 ÷{sin 79.3°} =  CB ÷ {sin 44.5°}

CB = 220 · {sin 44.5°} ÷ {sin 79.3°} = 156.92858 = 156.9 m

tg φ = h ÷ CB → h =  CB · tg φ = 156.9 · tg 34.8° = 109.0682095 = 109 m

 

Aufgabe 9

Von einem Schiff S aus sieht man die Spitze eines Leuchtturmes unter einem Erhebungswinkel von α = 4°6' und von einem Schiff S aus unter einem Erhebungswinkel von β = 14°35'.

Beide Schiffe befinden sich genau westlich vom Leuchtturm und sind 630 m voneinander entfernt.

Wie weit sind die Schiffe S und S vom Leuchtturm entfernt?

Lösung:

sin-satz

630  ÷ sin(14°35' - 4°6' )  = x ÷ sin (4°6' ) → x = 630 sin 4°6'  - sin (14°35'-4°6' ) = 247.5676275 = 247.6 m

 

y = 247.567·cos (14°35') = 239.591642269 = 239.6 m

 

Gleichungssystem

h = x · tg 14°35' = (x + 630) tg  (4°6') → x = 630 tg 4°6'/( tg14°35' - tg4°6')= 239.5919686 m = 239.6 m (Schiff 2)

870 m ( Schiff 1)

h = 247.6 sin (14°35')= 62.34267085 = 62.34 m

Aufgabe 10

Von einem allgemeinen Dreieck kennt man folgende Grössen:

b = AC = 10 cm

Flächeninhalt des Umkreises A = 64 π cm²

Winkel α = <BAC = 25 °

Berechnen Sie die weiteren Seiten und Winkel des Dreiecks.

Beachten Sie dabei alle Möglichkeiten.

Lösung:

A = π·r² = 64 π cm² ↔ r = 8 cm

2r = b ÷ sin β → sin β = b/(2r) = 10/16= 5/8

β = 38.682187453 = 38.7°

β = 141.3178125465 = 141.3°

 

2 r = a/sin α 

a = 2 r·sin α = 2·8 sin 25° =6.761892187

 

γ = 180° - 25° -38.68° = 116.32°

c² = a²+b² -2 a · b cos(γ) = 205.67904 →  c = 14.3415131698157

γ = 180° -25° - 141.32° = 13.68°

c² = a²+b² -2·a·b cos γ = 15.99273102 → c = 3.99909127 = 4

¾⁸₀₃⅙₁₂⅓⅔⁴⅕⅖

Aufgabe 11

Von einem Dreieck ABC kennt man die Fläche A = 175 cm², die Seite a = 23 cm und den Winkel β = 80°.

Berechnen Sie:    a) die Seiten b und c.    b) Die Winkel α und γ.

Lösung:

A = ½ a·c sin 80° → c = 2 A/(a·sin 80°) = 350/23 sin 80 ° =15,452144 = 15.45 cm

b² = a² + c² -2 a · c · cos 80° = 23² + 15.45² - 2 23 15.452 = 644,274764  → b = 25.382568122 = 25.4 cm

 25.38/sin 80° = 23 /sin α → sin(α) = 23/25.38 sin 80 = 0,89245777 → α = 63.18373325169 = 63.2°

Aufgabe 12

Im Dreieck ABC gilt β = 45°. M ist der Mittelpunkt der Seite b. Der Winkel BMC misst ebenfalls 45°. Berechne α und γ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lösung:

ABC ähnlich zu BMC

a ÷ (b/2) = b/a → 2 a² = b² → b = a√ 2

 b ÷ sin(45°) = a sin α → sin α = sin (45°) a ÷ b =0.5 → α = 30°

Aufgabe 13

Gegeben ist eine Halbkreis mit dem Radius r = 9 cm. Auf dem Halbkreis befindet sich ein Punkt R. M ist der Kreismittelpunkt und N die Mitte des Radius r. Weiterhin ist gegeben der Winkel α = 54° .

Berechne den Winkel β

Lösung:

0.5 ÷ {sin αR} = 1 ÷ {sin 54°} →sin αR = 0.5·sin (54°) → 

αR = 23.86°

β= 54° + 23.86° = 77.86°

 

 

Aufgabe 14

Der Abstand zweier Punkte P und Q lässt sich nicht direkt bestimmen. Auf der Verlängerung von PQ wird daher ein Punkt A markiert und von dort aus eine Standlinie AC abgesteckt. Weiterhin wurde auf AC ein Punkt B bestimmt. Gemessen wurden folgende Grössen:

AB = 105 m,  BC = 84 m, α = 76°, β = 82°, γ = 26°.

Berechne die Länge PQ auf zwei Stellen nach dem Komma.  

 Lösung:

105 ÷ sin 22°= AP ÷ sin 82° → AP = 105 ·sin 82° ÷ sin 22 = 277,56624

 189 ÷ sin 78° = AQ ÷ sin 26° → AQ = 189 ·sin 26° ÷ sin 78° = 84,703112987221

 x = 277.566 – 84,703 = 192,863

 

 

 

 

Aufgabe 15

Gegeben sind:

BD = a = 52 m,    α = 41,6°,  δ = 78,2°,    γ = 62,5°

Berechnen x auf 2 Nachkommastellen.  

Lösung:

52 ÷ sin 39,3 = BC ÷ sin (62.5°) → BC = 52 sin 62,5° ÷ sin 39.3 = 72,82279165

 

x ÷ sin(101.8°) = 72.822 ÷ sin (41.6°) → x = 72.822·sin (101.8°) ÷sin 41.6° = 107,36596 m

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 16

Wie gross sind die Winkel eines Dreiecks, dessen Seiten sich wie 6 : 5 : 9 verhalten?  

Lösung: 

cos γ = { a² + b² -c²} /{2 a·b } ={ 36 +25 -81}/{2·30} = -0,33333 → γ = 109,47122 °

9 ÷ sin 109.47° = 6 ÷ sin α → sin α = 6 sin(109.47°)÷ 9 = 0,628544095 → α = 38,942790012 = 38.94°

β = 180° - 109.47° - 38.94° = 31,59°

Aufgabe 17

Zeige, dass im Dreieck ABC

c ÷ c = {b · sin γ} ÷{ a · sin γ }

gilt.

Begründe damit, dass die Winkelhalbierende eines Dreieckswinkel die dem Winkel gegenüberliegende Dreiecksseite im Verhältnis der dem Winkel anliegenden Seiten teilt.

 Lösung:

c ÷ sin γ = b ÷ sin δ → sin δ = sin γ · b ÷ c

c₂ ÷ sin γ₂ = a ÷ sin δ → sin δ = sin γ₂ · a ÷ c₂

 

sin γ₁ · b ÷ c₁ =sin γ₂ · a ÷ c₂

sin γ₁ · b ÷ sin γ₂ · a = c₁ ÷ c₂

 

Winkelhalbierende γ = γ

also:     c₁ ÷ c₂ = b ÷ a

 

Aufgabe 18

Von einem Dreieck ABC ist gegeben.        Seite a = 7.32 cm;        Seite b = 2.81 cm    und     Winkel β = 21°

Berechnen Sie den Winkel α.

Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.

Lösung:

7.32 ÷sin α = 2.81 ÷sin 21° →α = 69° und 111°

Aufgabe 19

Von einem Dreieck ABC ist gegeben.

Seite a = 7.32 cm

Seite b = 2.81 cm

Seite c = 5.1 cm

Berechnen Sie den Winkel γ .

Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.

Lösung:

5.1²=7.32²+2.81²-2·7.32·2.81 ·cos γ →γ = 30.44°

Aufgabe 20

 Berechnen Sie die Länge der Strecke k:

Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.

Lösung:

k ÷ 24 = sin 25 ° → k = 10.1 cm

 

 

 

 

Aufgabe 21

Wie gross ist in einem Kreis mit Radius r = 14 cm der zur Sehne s = 21 cm gehörende Zentriwinkel?

Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.

Aufgabe 22

Berechnen Sie im Dreieck ABC die Seite c aus:

a + b = 75

α =50°

β =70°

Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.

Lösung:

a ÷sin 50 = (75-a) ÷sin 70° → a=33.68 = 33.7 cm

Aufgabe 23

Das Dreieck ABC ist gleichseitig und hat die Seitenlänge s.

Berechnen Sie die schraffierte Fläche BDEF aus der gegebenen Seite s. (Runden Sie auf 3 Dezimalstellen)

Lösung:

Dreieck BDC: h = ½ sqrt 3

BD = ½ √ 3 –½

A = ½ ½√3 ½(√3 -1) = ⅛ √3(√3 -1) =⅛ (3-√3) =0,1584936490538

 

Dreieck FEC

EF =tg(15°) ½ = ½ (2-√ 3)

A = ½ ·½·½(2-√3) = ⅛(2-√3) =0,033493649053890

 

A =⅛·1=⅛

 

ADC A = 0,59150635094610966169093079268823

ABC A = 0,43301270189221932338186158537647

AD x=1,3660254037844386467637231707529

⅛⅓

Aufgabe 24

Von einem 70 m hohen Turm aus sieht man eine Wolke unter dem Höhenwinkel 45° und ihr Spiegelbild im See unter dem Tiefenwinkel 50°. Wie hoch schwebt die Wolke über dem See?

Lösung:

Spitze zum See(schräg):    s = 91.37

Boden-Wolke:                       x= 1044

Höhe:                                      h = 799.82 = 800 m