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a·x² + b·x + c = 0

x₁, ={ -b ± √ D } ÷ {2 a}

Textaufgaben zu  Quadratische Gleichungen; Anzahl Lösungen etc.

Textaufgaben zu den Quadratischen Gleichungen

Aufgabe 1

Die drei in einer Ecke zusammenstossenden Kanten eines Quaders unterscheiden sich je um 2 cm. Wie lang sind die Kanten, wenn die Oberfläche des Körpers 5758 cm² misst?

Lösung:        2 x · ( x - 2) + 2 x ·(x + 2) + 2 · ( x - 2 ) · (x + 2) = 5758 → x = 31    →29/31/33


Aufgabe 2        Bruchgleichung

Für ein Fest werden Paarkarten und Einzelkarten verkauft, wobei zwei Einzelkarten zusammen 5 Franken mehr kosten als eine Paarkarte. Aus total 60 verkauften Karten werden 1890 Franken für Paarkarten und 450 Franken für Einzelkarten eingenommen. Wie viele Einzelkarten wurden verkauft?

Löung:   

p: Preis für Einzelkarte

2 p - 5 : Preis für Einzelkarte

60 = 450/p + 1890/(2 p - 5) → 4 p²- 103 p  + 75 = 0→ p = 25  und n = 16 (Einzelkarten); 45 Franken und 42 Paarkarten

p = 0.75 ergibt negativen Preis für die Paarkarte


 Aufgabe 3

Von den Kantenlängen eines Quaders ist die mittlere um 2 cm grösser als die kleinste und um 3 cm kleiner als die grösste. Berechnen Sie die Kanten so, dass die Oberfläche 180 cm² misst.

Lösung:

x: mittlere Kante

x - 2: kleinste Kante

x + 3: grösste Kante

90 = x·(x-2)+ x· ( x+3) + (x - 2)·( x + 3) = 3 x² +2 x -6 → x = -6(Schein)    x= 5

also 3 cm, 5 cm und 8 cm


Aufgabe 4

Ein Mensch beginnt ein Geschäft mit Fr. 2000.-. Den Gewinn des ersten Jahres schlägt er voll zum Kapital. Im zweiten Jahr gewinnt er den gleich hohen Prozentsatz, wodurch das Kapital auf Fr. 2645.- anwächst. Wie viele Prozente hat er jedes Jahr gewonnen?

Lösung:        2000 · x² = 2645 → x = 1.15 → p = 15 %


 Aufgabe 5    Bruchgleichung

Eine Baumaschine mit einem Anschaffungswert von Fr. 24000.- wurde zweimal mit dem gleichen Prozentsatz abgeschrieben und hat zur Zeit einen Wert von Fr. 16335.-. Wie viele Prozente beträgt der Abschreibungssatz?

Lösung:

16335 = 24000 x² → x = 0.825 → p = -17.5 %


 Aufgabe 6

In einem Quader mit der Oberfläche 286 cm² ist die mittlere Kante 7 cm lang. Sie unterscheidet sich von der grössten Kante ebenso viel wie von der kleinsten.

Wie lang sind die Kanten des Quaders?

Lösung:        7·(7-x)+ 7·(7+x) + (7-x)·(7+x) = 147 - x² = 143 → x = 2 → also 5 cm, 7 cm und 9 cm.


Aufgabe 7    Bruchgleichung

Das Verkehrsflugzeug für die Stecke von München nach Stuttgart braucht für die 150 km lange Flugstrecke bei Gegenwind der Stärke 25 km/h um 5 min länger als bei Windstille. Wie gross ist die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs? Es soll angenommen werden, dass diese konstant ist.

Lösung: 

150/(x-25)- 150/x = 1/12 → x = 225


Aufgabe 8    Bruchgleichung

Ein Schüler hatte für den Ferienaufenthalt 252 CHF gespart, Nachdem sich die Tageskosten um 7 CHF erhöht hatten, musste er seinen Aufenthalt um drei Tage verkürzen.

Wie viele Tage wollte er ursprünglich bleiben?

Lösung:

252÷p -252÷(p+7) = 3    → p = 21, n=12

252÷n - 252÷(n-3) = 7 → n = 12, p = 21


Aufgabe 9    Bruchgleichung

Ein LKW fährt eine Strecke von 720 km voll beladen. Am Zielort wird er entladen und kehrt zum Ausgangsort mit einer um 10 km/h höheren Geschwindigkeit zurück. Die gesamte Fahrtdauer beträgt 17 Stunden.Wie groß ist seine durchschnittliche Geschwindigkeit am Weg zum Zielort?

Lösung:

720/x+720/(x+10) = 17 → 17 x² -1270 x -7200 = 0 → x = 80 und  x= -80/34(Schein) also 80km/h

Aufgabe 10

Wenn man vom Produkt zweier aufeinander folgenden Zahlen 9 subtrahiert, so erhält man die kleinere der beiden Zahlen. Wie heisst diese Zahl?

Lösung:     x·(x + 1) - 9 = x             x² -9 = 0                 x₁ = +3


Aufgabe 11

Addiert man eine Zahl zu ihrer Quadratzahl, so erhält man als Summe den Wert 72. Welchen Wert hat die Zahl?

Lösung:     x + x² = 72         x² + x - 72 = 0         x₁  = 8         (x₂ = -9)

Aufgabe 12        Mitternachstsformel

Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen mit Hilfe der Lösungsformel:

a)  x² – 0.6 x – 0.25 = 0

b) -3 x² + 5 x - 2 = 0

c) ( x – 7)·( x – 17 ) = 200

Lösung:    

a) D = 0.36 +    1 =  1.36     √D =½ √34     x= -0.283;             x = 0.883

b) D = 25 - 24 = 1          x = 1            x =-2/3

c) x² -24 x - 81 = 0         D = 24² + 324 = 900                 x = 27                         x = -3


Aufgabe 13

a) x² + x = x + 0.25            Lsg:     x² = 0.25         x , = ±0.5

d) 2 x + 1 = 3/x                     Lsg:     2 x² + x = 3     →    2 x² + x - 3 = 0     →     (2 x + 3 ) ( x - 1) = 0;     D = 25;    x = 1 ;    x = -1.5

e) (x + 1)² = 52 - (x - 1)²    Lsg:     x² + 2 x + 1 = 52 - x²+ 2 x - 1     →    2 x² = 50    →    x² = 25    →    x= ±5

f) (2 + 3 x) ² = (3 + x) (5 x - 3) + 13            Lsg:  4 + 12 x + 9 x² = 15 x -9 + 5 x² -3 x + 13 → 4x² = 0 →    x = 0  

¾⁸₀₃⅙₁₂⅓⅔⁴

Aufgabe 14

Lösen Sie nach x auf:

a) (17 + x)(17 - x) = (x + 7)( x-7)     Lsg: x = +-13

b)  (x² - 9)² = x + 9              Lsg: x = ±2

c)  (x + 3)² + (x - 3)²= 50           Lsg.: x = ± 4

d)  (x + 2)² + (x -2) ² = (2 x + 1) ·(2 x - 1)    Lsg.:    x = ± √4.5 = ± 3 over 2 sqrt 2

 


Aufgabe 15

Bestimme p bzw. q, so dass die angegebene Zahl eine Lösung ist. Wie lautet dann x2?

a) x² + p x - 21 = 0; x = 7

b) x² + 11 x + q = 0; x = -2

Lösung:

Satz von Vieta        x²+ p x + q = 0         p= -(x₁ + x₂)        q= x₁·x₂

a)     -21 = x·x und x = 7 → x= -3     p = -(x + x) = -(7-3) = -4    →    x² - 4 x - 21= 0

b) p = -(x + x) = 11 =  -(-2+x) → x = -9

q= x·x= -2 -9 = 18    →x² + 11 x +18= 0

oder

Koeffizientenvergleich

a)    (x - 7)·(x - x) = x²  - 7 x - x ·x₂  + 7 x2 → -21 = 7 x₂ → x₂ = -3    →     p = -x-x₂ = -7+3 = -4

b)  (x- x)·(x - x)= (x + 2)·(x - x) = x² +2 x - x·x - 2x₂    →    11 = 2 - x → x = -9

q = x₁ x = -2 · -9 = -18

Aufgabe

Berechnen Sie den Parameter r so, dass die eine Lösung der Kehrwert der andern ist.

        6 x² + 13 x + r = 0

Berechnen Sie anschliessend die Lösungen.

Lösung: 6 x² + 13 x + r = 6 (x - p)·(x-1/p) = 6 x² -(p + 1/p) x + 6 → r = 6

6 x² + 13 x + 6 =(3 x + 2 ) · ( 2 x + 3) → x = -3/2 und x = -2/3

Aufgabe 8

Für welchen Parameter haben folgende Gleichungen genau eine Lösung:

 x² – 8 x + n = 0

 Lösung:    D = b² - 4 a c = (-8)² - 4·1·n = 64 -4 n = 0 → n = 16→(x - 4)²


Aufgabe 16

Für welche Parameter (p,a,c,t) haben folgende Gleichungen jeweils genau eine Lösung:

x² + 12 x + b = 0                       Lösung:     D = b²- 4 a c = 144 -4 b = 0 → b = 36

a)    p · (x²+ 1) = 4 x · (p - 1)    Lösung:      p= 2    p = -2/3

b)    a x² + a x + 4 a + 1 = 0    Lösung:       a= -4/15

c)    p x² – x + 3 = 0                Lösung:       p = 1/12

d)    a x² -2 a·x + a + 1 = 0      Lösung:    ???

e)    x²- (c + 2)· x + 1 = 0         Lösung:       c= 0 und c = -4

f)    x² +2 c x + 4 = 0               Lösung:       c = ±2

g)    x²+ t · ( x + 1 ) + 3 = 0       Lösung:       t = 6 und t = -2

h)    5x²+ k x + k=0                  Lösung:       k² - 20 k = 0 →    k = 0 und k = 20

Aufgabe 17

Wie muss man bei den folgenden Gleichungen k wählen, um die angegebene Zahl von Lösungen zu erhalten

a) x² + 6 x + k = 0                    (2 Lösungen)        Lösung:     D = 36 – 4 k            →     k < 9

b) 6 x² - 5 k x - k² = 0   (1 Lösungen)          Lösung:     D = 25k² – 24 k² →     k = 0

c) 3 x² + k x + 27 =0     (keine Lösung)      Lösung:     D = k²-81                →     -9 <  k  <  9

d) x² + 3 k x + 4 k + 1 = 0       (2 Lösungen)        Lösung:     D = 9 k² - 4(4 k + 1) = 9 k² – 16 k - 4 = (k - 2)·( 9 k + 2) → k > 2 oder k <-2/9

Aufgabe 18

Die Summe zweier aufeinanderfolgender ungerader Zahlen ist um 92 kleiner als das dreifache Quadrat der um 1 verminderten kleineren Zahl.Wie heisst die Zahl?

Lösung:    7        (-13/3)                Kontrolle:    16 = 3 · 36 -92 i,o


Aufgabe 19

Die Summe aus dem Quadrat einer Zahl und ihrem Fünffachen ergibt 84. Wie lautet die Zahl?

Lösung:

 + 5 x = 84    →    x²+ 5 x - 84= 0    →(x - 7) (x + 12 )= 0

x = 7            49 + 35 = 84        Kontrolle            x = -12         144 – 60 = 84      Kontrolle


Aufgabe 20

Die Quadrate zweier benachbarten Zahlen( z.B 83 und 84) ergeben 145. Wie lauten die Zahlen?

Lösung:

x + (x + 1)² = 145    →    +x²+2 x + 1 = 145

2 x² + 2 x - 144 = 0    →    x² + x -72 = 0

(x - 8)·( x + 9) = 0     →    x = 8 9         Kontrolle:    64 + 81 = 145

Rätsel        Spezielle Geburtstage

Im Jahre 1936 konnten alle, die 1892 geboren sind, einen speziellen Geburtstag feiern: Das Alter steht mit der Jahrzahl in einer mathematischen Verbindung.

Welcher Zusammenhang ist da wohl gemeint?

Einen Geburtstag mit dieser gleichen Eigenheit können auch alle feiern, die 1980 geboren sind.

Wann ist das im 21. Jahrhundert?

Wie alt sind sie dann?

Aufgabe 21    Substitution

(x²+4)² – 15 (x² + 4) = 100

Lösung : x = ±4

Aufgabe 21

Lösen sie die Gleichung für x mit Fallunterscheidung für alle Parameterwere k.

k·x² - x² + 3 x = 2

Lösung:

Normalform

(k - 1) ·x² + 3 x - 2 = 0 → a = k - 1;     b = 3  und  c = - 2

D = b² - 4 a ·c = (3)² - 4 ( k - 1)· (-2) = 9 + 8 k -8 = 1 + 8 k

 


k = 1:   3 x = 2 ergibt  x = ⅔        lineare Gleichung

 


genau eine Lösung:

D = 0 ergibt k = -0.125 = - :    -9/8 x² + 3 x - 2 = -·(9 x² - 24 x + 16) = -·(3 x - 4)² → x = 4/3

 


k>-0125: 2 Lösungen

k<-0.125: keine Lösung

Aufgabe 22

Für welche Werte des Parameters a hat die Gleichung 2 x² – 5 a·x – a = 0  keine reellen Lösungen?

Lösung:

D = 25 a² + 8 a = a ·(25 a + 8)    → -8/25 < a < 0→ -0.32 < a < 0

Rätsel

Im Verkehrsamt wurden Autonummern versteigert, die eine tiefe Zahl aufweisen oder deren Zahl über eine auffällige Eigenschaft heraussticht.

Toby und Marcel sind beim Feierabendbier. Toby sagt zu seinem Kollegen: «Ich habe mir eine vierstellige Autonummer ersteigert!»

«Und, wie lautet die Nummer?», fragt Marcel neugierig.

Toby nimmt einen Schluck Bier und erklärt mit wichtiger Miene: «Die ersten beiden Ziffern sind gleich und auch die dritte und vierte Ziffer sind identisch.»

Marcel bemerkt: «Solche Zahlen gibt es viele. Da weiss ich immer noch nicht, welche Nummer du ersteigert hast.»

Toby ergänzt:

«Die vierstellige Nummer ist eine Quadratzahl.»

Wie lautet Tobys ersteigerte Autonummer?

Aufgabe 23

Mirka nummeriert die Seiten ihres Heftes, sie beginnt auf der ersten Seite mit der Zahl 1 und nummeriert alle Seiten der Reihe nach bis zur letzten Seite. Die Anzahl der geschriebenen Ziffern ist um 21 grösser als die Anzahl der nummerierten Seiten.

Wie viele nummerierte Seiten hat Mirka in ihrem Heft?

Lösung:

½ x·(x + 1) = x + 21 → x = 7

Aufgabe

Eine zweiziffrige Zahl hat die Quersumme 6. Vertauscht man die Ziffern und multipluziert die neue Zahl mit der ursprünglichen, so ist das Produkt um 408 grösser als das Siebenfache der ursprünglichen Zahl. Bestimmen Sie die gesuchte Zahl.

Lösung:

(10 x + y)(10y +x) = 7(10x+y) + 408

(10 x + 6 – x)·(60 – 10x + x) = 7(10x+ 6 -x)+408

(9 x+6)·(60 – 9 x)= 63x + 42 + 408

540 x – 81 x² + 360 -54 x = 63 x + 450

0 = 81 x² – 423 x + 90

0 = 9x² – 47 x + 10

0= (9x-2 )(x -5) → x = 5

51· 15 = 7· 51 + 408

Aufgabe 5

Lösen Sie die Gleichung für x in Abhängigkeit von k mit Fallunterscheidung für alle Parameterwerte k.

Gleichung:    k · x² + 4 x - 1 = 2 x²

a) Bestimmen Sie k, so dass nur eine Lösung existiert.

b) Bestimmen Sie dann die Lösung.

Lösung:

D = 0    k = -2    x =½

Lineare Gleichung für k = 2:    x = ¼