Ihre Browserversion ist veraltet. Wir empfehlen, Ihren Browser auf die neueste Version zu aktualisieren.

hello parabel

In der Mathematik ist eine Parabel (von lat. Parabola zu altgriechisch παραβολή parabolḗ ‚Nebeneinanderstellung, Vergleichung, Gleichnis, Gleichheit‘; zurückzuführen auf παρά pará ‚neben‘ und βάλλειν bállein‚werfen‘)eine Kurve zweiter Ordnung. Neben dem Kreis, der Ellipse und der Hyperbel zählt sie zu den Kegelschnitten: Sie entsteht beim Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die parallel zu einer Mantellinie verläuft und nicht durch die Kegelspitze geht. Eine Parabel kann daher als Ellipse angesehen werden, bei der einer der beiden Brennpunkte im Unendlichen liegt.

Die Parabel wurde von Menaichmos entdeckt und von Apollonios von Perge (etwa 262–190 v. Chr.) als parabolḗ benannt.

 

Formeln

y = ax² + bx + c = a (x - xs)² + ys = a ·(x-x₁)·(x-x₂)        Normalform; Scheitelform und Nullstellenform

xs = (-b ÷2a)

Schnittpunkte


Aufgabe 1

Berechnen Sie die Schnittpunkte der Geraden g mit der Parabel p.

             g: y = x + 2                und    p: y = 0.5 x² -2

Lösung:

x + 2 = 0.5 x² -2                      2 x + 4 = x² - 4                    

0 = x² – 2 x -8                         0= (x - 4)· (x + 2)

x = 4 ; y= 6        (4/6)             x = -2; y = 0        (-2/0)

Aufgabe 2

Berechnen Sie den Schnittpunkt der Parabel y = p(x) = x² + 6 x + 5 mit den folgenden Geraden:

a) y = f(x) = 4 x + 4             b) y = g(x) = 5 x +7

Lösung:

a) S(1/0)                b) S₁(1/12) und S₂ (-3/-8)

Aufgabe 3

Berechnen Sie die Schnittpunkte der Parabel y =p(x) = -½ x² +4 x -2 mit den folgenden Parabeln:

a) y = p₁(x) = x²

b) y = p₂(x) = ½ x² +4 x+14

c) y = p3(x) = x² -11/2 x -5

d) y = p4(x) = 3 x² +3/2 x + 15/4

Lösung:

a)S₁(-2/4) und S₂(-0.67/0.44)

b)S(-4/6)

c)

S₁(-1/1.5) und S₂(2/-12)

d)kein Schnittpunkt

Aufgabe 4

Bestimmen Sie m, so dass die Gerade g eine Tangente der Parabel p ist.

a) g(x) = mx     p(x) = mx²+ x + m

Lsg:     -3 m² - 2 m + 1 = - (3 m - 1)·(m + 1) = 0     also m₁ = -1, m₂ = 1/3

a) g(x) = x + m     p(x) =m·x² + m·x+1

Lsg:    5 m²- 6 m + 1 = (5 m - 1)·(m - 1) = 0     also m₁ = 0.2 und m₂ = 1

Aufgabe  5

Der vertikale Querschnitt einer Talsenke verläuft durch die drei Punkte ( -10 / 50 ); ( 40 / 237.5 ) und ( 50 / 500 ) und hat näherungsweise die Form einer Parabel.

Auf Grund des grossräumigen Zusammenhangs befindet sich der Ursprung des x-y-Koordinatensystems nicht auf dem Rand der Talsenke.

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel, die durch die drei Punkte AB und C verläuft. Sie entscheiden selbständig in welcher Form Sie die Gleichung der Parabel angeben.

b) Der Punkt D liegt auf der Parabel und hat eine Höhe von 100 m. Wie viele Meter links von C befindet sich der Punkt D?

c) Bestimmen Sie den tiefsten Punkt der Parabel, stellvertretend für den tiefsten Punkt der Talsenke.

Auf der Höhe von Punkt C und 5 m rechts davon wird ein 45 m hoher Aussichtsturm errichtet. Er endet im Punkt E.

Vom Aussichtsturm lässt sich nicht die ganze Talsenke überblicken. Das mögliche Sehfeld ist in der Abbildung links schraffiert hervorgehoben.

d) Wie viele Meter rechts von A endet das Sehfeld, wenn die Talsenke durch die Parabel angenähert wird?

 

 

 

 

Aufgabe 6

Ein Ball, der von einem Jungen in 1.6 Meter Höhe abgeworfen wird, erreicht nach 20 Metern mit 8 Metern über dem Boden seinen höchsten Punkt.

a) Skizziere die Situation in einem Koordinatensystem.

b) Bestimme die Gleichung der parabelförmigen Flugbahn des Balles.

Lösung:

Scheitelform y = a · (x - 20)² + 8

1.6 = a · (0 - 20)²+8 also a = - 0,016

y= -0.016·(x - 20)² +8     ausmultipliziern

y =-0.016 x²0.64 x + 1.6

Aufgabe 7

Für die Bahnkurve des Schwerpunkts eines Wasserspringers gilt: p: y = - x² + 2 x + 3

a) Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Flugbahn.

b) Nach welcher Strecke erreicht der Schwerpunkt die Wasseroberfläche?

Lösung:     xs = - ( 2 ÷ -2) = 1         ys = 4 m

0 = -x² + 2 x +3 = -  (x - 3) · (x + 1)             x  = 3

Physik:     

tup = √ 0.2 = 0,4472135954999 = 0.447 s

tdown= √ 0.8 = 0,894427190 = 0.894 s

ttot = 1,3416271909999 = 1.342 s

vhor = 3 ÷ 1.3416 =2,236090636 m/s = 2.236 m/s

Aufgabe 8

Eine Kugel wird in 1.25 m Höhe abgeschossen und erreicht nach 2 Meter eine maximale Höhe von 2.25 Meter.

a) Skizziere die Situation in einem Koordinatensystem.

b) Bestimme die Gleichung der parabelförmigen Flugbahn des Balles.

c) Wie gross ist die Wurfweite?

Lösung:

b) 1.25 = a ( 0 - 2)² + 2.25 → a = -¼ = -0.25

c) 0 = -¼·(x-2)² + 2.25 → 0 = -(x - 2)²+ 9 → x - 2 = ±3

x= -1     und     x= 5

Aufgabe 9

Der Sprung eines Flohs wird durch die Parabel y = -0.05 x² + 1.5 x  (Sprungweite x, Höhe y, in cm) beschrieben.

a) Wie weit und wie hoch springt der Floh?   

b) Nach welcher Weite hat er die Höhe h = 10 erreicht?

Lösung:

a) xweit= 30            xscheitel = 15             yscheitel = 225 ÷ 20 = 11.25

b) 10 = -0.05 x·( x - 30)

200 = x·( x - 30 ) → x² – 30 x -200 = (x - 20)·(x - 10) = 0 

also x= 10 und x = 20

Aufgabe 10

Gegeben ist die Parabel p: y = x² - 2 k · x – 2 k mit k R.

a) Setzen Sie k = 1.

    Berechnen Sie den Scheitelpunkt der Parabel p.

    Berechnen Sie die Nullstellen von p. Exakte Werte.

    Skizzieren Sie die Parabel p, qualitative Skizze.

b) Berechnen Sie k so, dass der Punkt R(1|2) auf der Parabel p liegt.

Lösung :

a) y = x² - 2 x - 2 = ( x - 1 )² -3

Scheitelpunkt xS = -(-2) ÷ 2 = 1     yS = -3

x₁,₂ = ( +2 +- √ {4 +8})/2 = 1 + √3

b) 2 = 1 - 2 k - 2k → k = - ¼

 

Aufgabe 11

Mit einem Drahtzaun der Länge 200 m sollen sechs rechteckige Felder so eingefasst werden, wie rechts dargestellt ist.

Seitenlängen der Felder: d m bzw. f m. Die Felder sollen zusammen einen möglichst grossen Flächeninhalt haben. Berechnen Sie d.

Lösung :

A = (d + f) (4d)

200 = 8 d + 2 d + 2 f → f = 100 – 5d

A = ( 100 – 4 d ) ( 4 d )

d₁ = 0         d₂ = 25         dmax = 12.5

fmax = 37.5

Amax = 50 · 50 =2500 Quadrat logo

 

 

Aufgabe 12

Ein Basketballspieler wirft einen Basketball schräg nach oben und trifft den Korb genau in der Mitte, vgl. Skizze. Abwurfhöhe hA = 2.13 m Korbhöhe hK = 3.05 m maximale Wurfhöhe hmax = 3.91 m horizontale Distanz zwischen Spieler und Korb: d = 4.11 m. Berechnen Sie eine Funktionsgleichung für die parabelförmige Bahnkurve des Basketballs. Runden Sie Ihre Resultate auf 3 sign. Stellen.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 13    Tangente an Parabel

Gegeben ist die Parabel y = x² - 6 x + 10 und die Gerade g: y = 3 x + b

a) Berechnen Sie b so, dass die Gerade g Tangente an die Parabel ist.

b) Welche Koordinaten hat der Berührungspunkt?

Lösung:

 a)

Schnittpunkt:

x² - 6 x +10 = 3 x + b

x² -9 x + (10 - b) = 0

Berührungspunkt ergibt genau eine Lösung (Diskriminante D = 0)

D = 81 - 4· 1·(10 - b) = 41 + 4 b = 0 → b = -10.25

b)

Lösung für b = -10.25

x² - 6 x + 10 = 3 x - 10.25

0 = x² - 9 x + 20.25 = (x - 4.5)² → x = 4.5

y = 3 x + 10.25 = 3·4.5 + 10.25 =  13.5 -10.25 = 3.25

y = x² - 6 x + 10  = 4.5² - 27 + 10 = 30.25 - 27 = 3.25

Berührungspunkt B (4.5 / 3.25)

Aufgabe 14         Tangente an Parabel

Gegeben ist ein kartesisches Koordinatensystem mit gleich skalierten Achsen sowie

die Parabel      p: y = 2 x² - 5 x + 3 und die Gerade t: y = - a·x -5

a) Berechnen Sie a so, dass die Gerade t die Parabel p berührt.

b) Berechnen Sie die Koordinaten von einem der beiden Berührungspunkte

Lösung:

a) Bedingung für genau einen Schnittpunkt

2x² -5 x + 3 = - a·x - 5

2x²+ (a - 5) ·x + 8 = 0

D = (a - 5)² -4 ·2 ·8 = a² -10 a  + 25 – 64 = a² - 10 a – 39 = (a - 13)·(a + 3 )

Tangente 1:      y = - 13 x  -5

Tangente 2:     y = 3 x -5

b) Schnittpunkt

D = 0

x = -b ÷{2 a} = - (a -  5) ÷4

a= 13     x₁ = -2     y₁ = 21

a= -3     x₂ = 2     y₂ = 1

⅛₁₂

Aufgabe 15

Für welche Parameter λ ∈ R berührt die Parabel y = x² − λ·x + λ die x-Achse?

Lösung :

D = 0 = λ²- 4 λ = λ·(λ - 4) → λ₁ = 0 oder λ₂ = 4

Aufgabe 16

Gesucht ist diejenige Parabel, die den Scheitel bei S (2/0) hat, und die die Gerade mit der Gleichung y = −x berührt.

(a) Bestimmen Sie die Parabelgleichung.

(b) Geben Sie die Koordinaten des Berührungspunktes an.  

Lösung:

a·(x-2)²= -x → D = (4 a + 1)² - 16 a²

y =⅛·(x-2)² = 0.125·(x-2)²            P(-2/2)

Aufgabe 17

Von einer Geraden Sind die Punkte P(9/-2) und Q( -6/8) bekannt. Diese Gerade wird im Punkt R(3/yc) von einer Parabel geschnitten, deren Scheitelpunkt in S(5/3) liegt.

a) Bestimmen Sie die Geradengleichung.

b) Bestimmen Sie die Parabelgleichung. Berechnen Sie die Koordinaten des zweiten Schnittpunktes D zwischen Parabel und Geraden.

Lösung:

a)

-2 = 9 a + b

8= -6 a +b

a=-⅔     b = 4  also  y = -⅔ x +4

a)  

yc = -⅔ · 3 + 4 =2

Scheitelgleichung mit xs = 5 und ys = 3:        y = a·(x-5) + 3

P unkt R einsetzen:                                    2 =a·(3-5)² +3    → a = -¼

y=-¼(x-5)² + 3 =- ¼x² +2.5 x -3.25

b)

-¼x² +2.5 x -3.25 = -⅔x +4

-3 x² + 30 x -39 = -8 x+48

0= 3 x² - 38 x + 87 = (3 x - 29) (x - 3)

x= 3 → y= -⅔ ·3 +4 = 2    ergibt den Punkt R

x= 29/3 = 9.6667 → y= -⅔ 29/3 +4 = -58/9+4 = -22/9 =-  2.4444

R(9.6667 /  -2.4444)

¾⁸₀₃⅙₁₂⅓⅔⁴⅕⅖

Aufgabe 18

Gegeben sind die beiden Geraden

    g: y = 5 x + 20

    g: y = -3 x + 10

sowie der Punkt P (5 | 25). Bestimmen Sie die Gleichung einer Parabel, die durch P geht und die beiden Geraden g1 und g2 berührt.

Lösung:

a x² +(b - 5)·x + c - 20 = 0    D = (b - 5)² -4a (c-20)=0

ax² + (b+ 3)x + c-10 =0    D = (b+3)² -4a (c-10) = 0

b²-10 b + 25 -4a·c + 80 a =0

b² + 6 b + 9 -4 a·c + 40 a =0

-16b +16 +40 a = 0

-2 b + 2 + 5 a =0

25 = 25 a + 5 b + c

Aufgabe 19

a) Von der Parabel p sind der Scheitelpunkt S(4/7.5) und der Punkt Q(1/3) bekannt. Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Parabel p in der Grundform y = a x² + b x + c.

b) Auf der Parabel p: y = 20 x² - 13 x - 21    liegen die Punkte A(2/yA) und B(xB/4.5). Berechnen sie die fehlende Koordinaten der beiden Punkte A un B.

Lösung:

a) 3 = a ( 1 - 4 )² + 7.5 → a = -½

y=-½ ( x - 4 ) + 4.5 = -½ x² +4 x - ½

b) yA = 20·2² - 13² - 21 = 33

4.5 = 20 x² - 13 x - 21 → x= +3/2 =1.5   und x = -17/20 = -0.85

Aufgabe 20

Der Graph der Funktion f(x) = 4 x² + b x + 4 mit der Definitionsmenge Df = ℝ besitzt den Scheitelpunkt S im 2.Quadranten des rechtwinkligen Koordinatensystems (inklusive Koordinatenachsen). Für welche Werte von b trifft das zu?

Lösung:

xs = - ½ b÷a = -⅛ b < 0b pos

xs= 4·( - ⅛ b)² +b·(-⅛ b) + 4 = -b²/16 + 4 > 0 → -8 < b < 8

also    0 < b < 8

Aufgabe 21

Von einer quadratischen Funktion sind die Nullstellen x = 4 und x = - 1 gegeben. Zudem liegt der Punkt Q(3; 12) auf dem Graphen der zugehörigen Parabel.

Bestimmen Sie die "Nullstellenform" und die "Normalform" dieser Funktion.

Lösung:

y= a·(x - x₁)·(x - x₂)  

Nullstellen einsetzen

y= a·(x - 4)·(x + 1)  

Punkt Q einsetzen

12 = a·(3-4)·(3+1) → a = -3

y = -3 (x - 4)·(x + 1) = -3 x² + 9 x + 12

Aufgabe 18

Geben Sie die Funktionsgleichung der Funktion ersten Grades an, auf dessen Graphen die Scheitelpunkte der Parabelschar mit der Gleichung f(x) = a ·x² + 2 · x + 3 liegen.

Lösung:

xs = - 1/a ys= 1/a - 2/a +3 = - 1/a + 3 = xs + 3

y = x + 3

Simulation auf Geogebra

Simulation

https://www.geogebra.org/m/YtcZ7Yga

Aufgabe 19

Gegeben sind die Gerade g: y = 3 x - 1 und die Parabel p: y = x² + r · x + s . Die Parabel schneidet die Gerade in den Punkten P(3/p) und Q(q/5)

a) Bestimmen Sie die Koeffizienten r und s.

b) Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S.

c) Geben Sie die Gleichung einer zu g parallelen Geraden an, welche die Parabel p tangiert.

Lösung:

a) aus y = 3 x - 1 ergibt sich: P(3/8) und Q(2/5)

also:    8 = 9 + 3 r + s    und    5 = 4 +2 r+s        →     r = -2 und s = 5

b) y = x² -2 x + 5 = (x - 1)² +4    →    xs = 1 und ys= 4

c) 3 x + b = x²-2 x + 5

 -5 x + (5 - b ) = 0    →    D = 25 - 4·(5 - b) = 0 → b =- 1.25

Aufgabe 20

Von einer Parabel p kennt man die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse N(5/0)und N(-3; 0). Ausserdem weiss man, dass die Parabel ebenfalls durch den Punkt Q(2/−3)geht.

a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel p in der Form y = p(x) = a x² + b x + c.

b) Verwandeln Sie die Funktionsgleichung von (a). in die Scheitelform y = p(x) = a·(x −u)² + v

c) Wie müssen Sie den Definitionsbereich D = R einschränken, damit die Funktion umkehrbar? wird?

d) Geben Sie die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion an.

Lösung:⅖⅕

a) -3 = a(2 – 5)·(2 + 3) →     a = ⅕    →    y = ⅕ (x - 5)·(x + 3) =  -⅖·x -3

b) y= ⅕ ( x - 1)² -3·

c) x ≥ 1

d) y = 1+{16+5 x}

 

Aufgabe 21

Von einer quadratischen Funktion sind die Nullstellen x = 4 und x = - 1 gegeben. Zudem liegt der Punkt Q(3; 12) auf dem Graphen der zugehörigen Parabel.

Bestimmen Sie die Koordinatengleichung dieser Funktion.

Lösung:        12 = a ·(3 - 4) · (3 + 1)     →     a = -3    →    y = -3 · (x - 4 )·( x + 1 ) = -3 x² +9 x + 12

Aufgabe 22

Der Graph f einer quadratischen Funktion (Funktion zweiten Grades) geht durch den Punkt P(-6/-12) und der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S = (2; 4).

a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) = ax² + b x + c

b) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Lösung:

a) -12 = a·(-6-2)² +4 → a = -¼    →f(x) = -¼ x² +x +3

b) N(-2/0) und N(6/0)

Aufgabe

Die Parameter m und q sind so zu bestimmen, dass die Gerade g(x) = m·x + q eine Tangente der Normalparabel p(x) = x² wird und durch den Punkt P geht:

y = x²

y = m · x+q

x² = mx + q → x² – m·x – q = 0

D = m² +4 q = 0

 

a)    P₁( 5 / - 11)

-11 = 5 m + q → q = -11-5m

m · x -11 - 5 m = x²

D = m² – 4·(11+5m) = 0

m² - 44 -20 m = (m-22)·(m+2)

m₁ = -2  und   q₁  = -1

m₂=+ 22  und   q₂ = -121

 

b)    P₂(-0.25/-1.5)

-1.5 = -0.25 m + q → q = 0.25 m – 1.5

D = m² + 4 q = m² + 4(-1.5 + 0.25 m) = m² + m -6 = (m-2)·(m+ 3)

m₁ = 2 und q₁= -1

m₂ = - 3 und q₂ = -2.25

 c)    P₃(1.5/0)

0 = 1.5 m + q

D = m² + 4 q = m² -6m = m·(m-6)

 m₁ = 0 und q₁ = 0

m₂ = 6 und q₂ = -9

 

d) P₄(3/9)

9 = 3 m + q

D = m² + 4q = m² +4(9-3m) =m² -12 m + 36 = (m-6)²

m₁,₂ = 6 und q₁,₂ = -9

P₄ liegt auf der Parabel

₃₄

Standardprüfung:

Aufgabe 1         2 P

Bestimmen Sie „rechnerisch“ den Schnittpunkt der beiden Geraden mit den Funktionsgleichungen

        f(x) = −3 x + 7     und     f(x) = 2 x − 13

 

Aufgabe 2         3 P

Bestimmen Sie „rechnerisch“ den Schnittpunkt zwischen der Geraden und der Parabel mit den Funktionsgleichungen:

    f(x) = x² + 4 x + 3     und     f(x) = x + 1

 

Aufgabe 3         3 P

Bestimmen Sie „rechnerisch“ die Schnittpunkte der beiden Parabeln mit den Funktionsgleichungen

    f(x) = x² – 4 x + 1 und f(x) = -x² + 2 x + 1

 

Aufgabe 4         8 P

Bestimmen Sie „grafisch“ die Schnittpunkte der „Funktionen“ mit den Funktionsgleichungen

    f(x) = x³ - x² - 2 x     und     f(x) = 2 x - 1

Hinweis: 2 Häuschen = 1 Längeneinheit

y liegt zwischen - 8 und 12 x liegt zwischen -2 und +3

Wertetabelle für x = -2.0, -1.5, -1.0 ........2.5, 3.0

Bewertung:

    korrekte Wertetabelle         2 Pt            sauber beschriftete Grafik 4 Pt            Schnittpunkte 2 Pt

 

Aufgabe 5         4 Pt

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel in der Scheitelform.

Folgende Punkte liegen auf der Parabel: Scheitelpunk S(3/4) und P(0/2)

 

Aufgabe 6         4 Pt

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel in der Nullstellenform.

Folgende Punkte liegen auf der Parabel: N(-2 /0), N(4/0) und Sy(0/-2)

 

Aufgabe 7 6 Pt

Gesucht ist die Funktionsgleichung der Tangenten t durch den Punkt P(0/-1) an die Parabel

p: p(x) = ¼ x² + x

Eine Gleichung ist zwingend nötig.

 

Aufgabe 24 c GLF Mathe

Gegeben ist die Parabel p: y = - x² - 2 x und die Gerade g: y= m ·x

Die Schnittpunkte der beiden Graphen und ihre Achsenschnittpunkte bilden die Eckpunkte eines Dreiecks.

a) Erstellen Sie eine qualitative Skizze der beiden Graphen für m = 2

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks für m = 2

c) Berechnen Sie m so, dass der Inhalt der Dreiecksfläche 10 Flächeneinheiten beträgt.

Geben Sie das Resultat auf 3 sign. Stellen gerundet an.⅛₁₂

Lösung:

b) -x²- 2 x = 2 x → 0 = x² + 4 x    → x = 0/ y = 0 und x = -4, y = -8

A = ½ · 2 · 8 = 8

c)

Die Parabel hat immer die Achsenschnittpunkte (Nullstellen): N(0 / 0) und N(- 2/0)

Für die Gerade gilt das Gleiche: N(0/0)

TR: Grafikmodus oder Solver

 ⅛₁₂

Für den Schnittpunkt einer Parabel mit einer Geraden gilt:

m·x = - x² – 2 x → 0 = -x² - (2 + m)·x → 0 = -x·(x+2+m)

 

also

1. Lösung: x = 0     und     y = 0         entspricht der Nullstelle N1(0/0), die unabhängig von m ist

2. Lösung: x = -2 – m     und     y = m·x = m·( - 2 - m)= - m·(2 + m)

 

Die Lösungen können auch mit dem SOLVER berechnet werden.

 

Die Grundseite ist immer noch g = 2. Für die Höhe ergibt sich h = 10, da A = ½ g · h

also

y = 10: -m·(2 + m) = 10            TR oder Mitternachtsformel: false, also keine Lösung für positive y Werte.

 

y= - 10 - m·(2 + m) = -10         TR oder Mitternachtsformel: m = -4.317 und m = 2.317

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 

Die Parabel mit p(x) = ¼ x² – 12 x + 32 wird an der geraden g oder am Punkt P gespiegelt. Geben sie die Funktionsgleichung der Bildparabel an:

 a) g(x) = -2     b) g(x) = 13     c) P1(4 /0)     d) P2(-6/-12)

Lösung:

u = 24         v = -112

y = ¼ (x – 24)² + 108

a)

u=24         v= -2+(-2 -(-112)) = 108         a = - ¼

y= -¼ (x – 24)² + 108 = -¼ x² + 12 x -36

b)

a) u=24     v= 13+(13 -(-112)) = 138     a = -¼

y= -¼ (x – 24)² + 138 = -¼ x² + 12 x -6

c) u = -16 v= 112

y= -¼ (x +16)² + 112 = -¼ x² -8 x +48

 

d) u = -6-30 = -36     v= -12+100 = 88

y= -¼ (x +36)² + 88 = -¼ x² -18 x -236

 

Aufgabe 6 

Eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(2/0) berührt die Gerade g mit der Gleichung y = - 7 x – 10.5

Berechnen Sie die Gleichung der Parabel in der Grundform.

 

Aufgabe 7

Gegeben ist eine kartesische Koofrdinatensystem mit gleich skalierten Achsen sowie die Parabel

p: y = 2x² – 5x + 3 und die Gerade t: y = - a x -5

a) Berechnen Sie a so, dass die Gerade t die Pabel p berührt.

b) Berechnen Sie die Koordinaten von einem der beiden Berührungspunkte.

 

Aufgabe

Wo liegen die Scheitelpunkte der Parbelscharen pa und pb?

a) pa(x) = ax² + x -4             b) pb(x) = -0.5 x² + bx + 12

Lösung:

a) xs = – 1÷ {2a}         ysa -4 = ½ xs -4

a) xs = b ys = 0.5 b² + 12 = 0.5 x +12

Aufgabe 3

Die Kirchenfeldbrücke in Bern hat einen Bogen, welcher einer Parabel ähnlich ist. Der Scheitelpunkt ist 32 m über dem Wasserspiegel. Die Hauptpfeiler haben auf Wasserhöhe einen Abstand von 87 m voneinander.

l Bestimmen Sie die Funktionsvorschrift der vermeintlichen Parabel dieses Bogens. Skizzieren Sie dazu ein Koordinatensystem direkt ins Bild, das zu einer möglichst einfachen Lösung führt.

ll Ein Vermessungspunkt liegt 30 m seitlich vom Scheitel und 11.2 m tiefer auf dem Stahlbogen.

Untersuchen Sie, ob dieser Punkt auf der von Ihnen berechneten Parabel liegt oder nicht, und entscheiden Sie dann, ob der Bogen tatsächlich einer Parabel entspricht.