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Gleichförmige Bewegungen

Eine gleichförmige Bewegung ist eine Bewegung mit gleichbleibender Geschwindigkeit und ohne Richtungsänderung. Ist das Bezugssystem, in dem die gleichförmige Bewegung beschrieben wird, ein Inertialsystem, folgt aus dem Trägheitsprinzip, dass auf das bewegte Objekt keine äussere Kraft wirkt.

Formeln:

s = v·t

Einholen:     s = (v - v)· t

Kreuzen:     s = (v + v) ·t

Ein Trabbi bleibt auf der Autobahn stehen. Ein freudlicher Porschefahrer hält an und schleppt ihn ab. Als ein Ferrari an den beiden vorbeizieht, denkt sich der Porschefahrer: "Den hol' ich ein!"

Der Trabbifahrer bekommt bei 200 km/h Angst, blinkt und hupt heftig.

Bei der nächsten Tankstelle sieht der Tankwart das und sagt zu seine Kunden:

"Haben Sie das gesehen? Vorne ein Ferrari mit 240, dahinter ein Porsche mit 240, dann ein Trabbi, der hupt und blinkt und die lassen ihn nicht vorbei!"

Aufgabe 1

Hansli kann mit 5.3 m/s rennen und Betli mit 4.8 m/s. Wie viel zeitlichen Vorsprung braucht Betli, wenn Sie gleichzeitig mit Hansli die Ziellinie beim 100 m Lauf überqueren soll?

Lösung:     Δt = 100/4.8 - 100/5.3 = 1.9650 = 1.97 s


Aufgabe 2

Eine Schnecke fällt in ein 9 m tiefes Loch. Nun muss sie wieder heraus kriechen. Am Tag kann sie 3 m an der Wand hinauf kriechen. Jedoch rutscht sie in der Nacht im Schlaf wieder 1 m zurück. An welchem Tag ist sie aus dem Loch heraus gekrochen?


Aufgabe 3

Ein Flugzeug mit einem riiiiiieeeesigem Tank fliegt auf der Erde 20000 km weit immer in die gleiche Richtung. Dann dreht er plötzlich um 90° und fliegt weitere 20000 km in die gleiche Richtung. Wo befindet sich das Flugzeug jetzt?


Aufgabe 4

Licht, welches von der Sonne abgestrahlt wird, erreicht unseren Planeten erst nach 8 Minuten und 20 Sekunden. Die Erde umkreist die Sonne in ungefähr 150 Millionen Kilometern Entfernung.

Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich das Licht?

Lösung: 300 000 km/s


Aufgabe 5

Ein Bergsteiger steht vor einer grossen Felswand, dessen Entfernung er auf ungefähr einen Kilometer schätzt. Er ruft in die Ferne und nach 6 Sekunden schallt ein Echo zurück.

Ermittle die Schallgeschwindigkeit aus den Gegebenheiten.

Lösung: 333.3 m/s


Aufgabe 6

Am Do. 13. Okt. 2011 unterbot der britisch-indische Läufer Fauja Singh mit 23.14 s den bestehenden Weltrekord für 100-jährige über 100 m Sprint.

An So. 16. Okt. 2011 beendete er als erster Hundertjähriger einen Marathon. Er lief die 42 195 m in 8 h 11 min 06 s (plus 14 min bis er in der Läufermasse die Startlinie erreicht hatte).

Berechnen Sie für beide Rennen die mittlere Geschwindigkeit in m/s und km/h.

Lösung:

a) v = {100 m} ÷ {23.14 s} = 4.32m/s = 15.6km/h

b) v = {42195 m} ÷{29466 s} = 1,432 m/s = 5,155 km/h


Aufgabe 7

Ein Elektron und ein Proton machen ein Wettrennen um die Erde. Das Elektron bewegt sich mit 99.985% der Lichtgeschwindigkeit, das Proton mit 99.983%.

a) Wie lange dauert ein Lauf des Elektrons um die Erde?

b) Wie viel Rückstand (Länge) hat das Proton dann?

Lösung:

a) Elektron t = 40000 km/(0.99985 · 300000 km/s) = 0,133353 s

b) Δs = 40000 - 40000/( 0.99985 · 300000) · 0.99983 · 300000 = 40000 km – 40000 km 0.99983/0.99985 = 40 000 km (1 - 0.99983/0.99985) = 40000 km · 0.00002/0.99985 = 0,80012 km = 800 m 


Aufgabe 8

Zwei Autos treffen sich um 10:13 Uhr auf der gleichen Autobahn. Das erste ist um 9:57 Uhr bei Kilometer 87 gestartet und fuhr mit konstant +121 km/h. Das Zweite startete um 9:42 Uhr fuhr mit +115 km/h. Wo ist das zweite Auto gestartet? Hinweis: gleiche Richtung

Lösung:

A: 87 + 121 · 16/60 = 119,266666       Ziel

B: 119,26666 – 115 · 31/60 =59,85    Beginn


Aufgabe 9

Zu einer geradlinigen Bewegung gehört das rechts stehende Zeit-Weg-Diagramm.

a) Berechnen Sie die Intervallgeschwindigkeiten.

b) Zeichnen Sie das Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm.

 Lösung:

 1. Abschnitt 2.5 km/h

 2. Abschnitt 5 km/h

 3. Abschnitt 0 km/h

 4. Abschnitt 5/0.65= 7.692307 = 7.7 km/h

 5 Abschnitt 5 km/h

 

Hawk and Tom were talking in the bar.

Hawk said, “I just got kicked off the course for breaking 60.”

Tom looked at him, amazed. “Breaking 60? That’s amazing!”

Hawk smiled and said, “Yeah, I never knew a golf cart could go that fast!”

Die Frau bittet ihren Mann, im Supermarkt schnell noch ein paar Schnecken für die Party am Abend zu besorgen.

Er tut, wie ihm aufgetragen und kommt auf dem Rückweg an seiner Stammkneipe vorbei. Er beschliesst, noch ein kleines Bierchen zu trinken. Aus dem einen Bier werden zwei, dann drei und am Ende taumelt er frühmorgens nach Hause.

Auf dem Weg zur Haustür stolpert er und verliert die Schnecken. In dem Moment öffnet sich die Tür und seine Frau schimpft: „Wo hast du die ganze Zeit gesteckt, du Idiot – die Party ist längst vorbei!“

Der Mann blickt nach unten zu den Schnecken: „Kommt, ihr Faulenzer – nur noch ein paar Schritte und wir sind da …!“

Aufgabe 10

Peter fährt mit seinem Fahrrad eine Wegstrecke von 5.2 km in 12 Minuten. Paul benötigt für die gleiche Strecke 14 Minuten.

Berechne jeweils die durchschnittliche Geschwindigkeit der beiden in m/s.

Lösung: vPeter = 7.22 m/s; vPaul = 6.19 m/s

 

Aufgabe 11 

Herr Meier fährt von Haar nach Prien (70 km) mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 65 km/h, Herr Huber dagegen mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 82 km/h. Wie lange benötigen die beiden jeweils für die Strecke von Haar nach Prien. Das Resultat ist in Minuten und Sekunden anzugeben.

Lösung:

Meier t = 70/65 = 64 min 37 sec

Huber t = 70/82 = 51 min 13 sec

Hinweis: Haar Vorstadt von München und Prien liegt am Chiemsee

 

Aufgabe 12

Zwei Familien fahren mit ihren Autos von Willisau nach Sörenberg (50 km). Familie Meier hat eine Verspätung und fährt erst eine Viertelstunde später los. Mit welcher Geschwindigkeit müsste Herr Meier fahren, damit er gleichzeitig mit Herr Huber (v = 75 km/h) auf dem Parkplatz Schönisei eintreffen würde?

Lösung:

Huber: t= 50/75 =  h = 40 min

Meier: t = 25 min         v = 50 km/ 25 min = 120 km/h

 

Aufgabe 13 

Ein Personenzug, der in 4 min 3 km zurücklegt, fährt von Station A nach Station B. 7 min später geht ein Schnellzug von Station B nach Station A ab, der in 5 min 6 km fährt. In der Mitte der Strecke begegnen sich beide Züge.

Wie gross ist die Entfernung von A bis B?

Lösung:

t · 0.75 km/min = (t - 7 min )·1.2 km/min

t = 8.4 /0.45 = 18,66666 min

s = 2 t·v= 2·18.666 ·0.75 = 28 km

Kontrolle 14/0.75 =18,6666

14/1.2 =11,6666

oder mit einer Bruchgleichung

s/0.75 – s/1.2 = 7

s= 7 ·0.9/ 0.45 = 14 halbe Distanz

Aufgabe 14 

In Princeton legt Albert Einstein seinen 3 km langen Arbeitsweg stets zu Fuss zurück. Einmal bemerkt er genau in der Mitte des Weges, dass er, sofern er seine Geschwindigkeit beibehielte, 6 Minuten zu spät im Institut ankäme. Um wie viel muss er die Geschwindigkeit erhöhen, um noch rechtzeitig einzutreffen, wenn er die erste Weghälfte mit 5 km/h zurückgelegt hat?

Lösung: t = 3/5 = 36 min 1. Teil 18 min 2. Teil 12 min

v = 1.5/ 12 min = 7.5 km/h

also um 2.5 km/h schneller

Aufgabe 15

Eine Strecke von 300 km soll mit einem Wagen zurückgelegt werden. Berechnen Sie die dazu benötigte Zeit, wenn

• a) die Geschwindigkeit immer 75 km/h beträgt,

• b) eine Hälfte des Weges mit 50 km/h, die andere mit 100 km/h zurückgelegt wird,

• c) die halbe Fahrzeit mit 50 km/h , die andere mit 100 km/h gefahren wird. (Lösung z.B. Durch Erraten und anschliessende grafische oder rechnerische Überprüfung!)

•d) ein Drittel der Fahrzeit mit 66 km/h, zwei Drittel mit 87 km/h zurückgelegt wird!

(Hinweis: Kreative Aufgabenlösung vonnöten: entweder algebraisch über das Lösen von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, oder graphisch mit rechnerischer Überprüfung der Lösung!)

Lösung:

a) 4 h    b) 4.5 h    c) 4 h    d) 3.75 h

Aufgabe

Ein Rennwagenfahrer muss während eines Zeittestes, der zehn Runden dauert, durchschnittlich 200.0 km/h fahren. Welche Durchschnittsgeschwindigkeit muss für die letzte Runde aufrechterhalten bleiben, wenn die ersten neun Runden mit 199 km/h gefahren wurden?

Lösung:

{9 s ÷ 199} + {s ÷ v} = {10 s ÷ 200}

1 ÷ v = 10 ÷ 200 – 9 ÷ 199 = {1990 – 1800} · {200·199} = 190÷{200·199}

v = 200·199 /190 = 209.47368421 = 209.47 km/h

Einholen

 

Aufgabe 16

Ein Gepard jagt mit 110 km/h eine Thomsongazelle, die 50 m Vorsprung hat und mit 80 km/h flieht. Der Gepard hält sein Tempo maximal 400 m oder 13 s lang durch. Kann er sie erreichen?

Lösung: Gepard: 397 m Glück Gazelle: 288 m Pech


Aufgabe 17

Ein Autofahrer sieht 500 m vor sich einen Lastwagen. Das Auto fährt mit 120 km/h, der Lastwagen mit 100 km/h. Wie lange dauert es, bis der Lastwagen eingeholt ist, und wie weit fährt der Lastwagen in dieser Zeit? Zeichnen Sie zuerst das s(t)-Diagramm. 7

Lösung:     t = 500 m / 20 km/h = 90 s         s = 100 km/h ·90 s = 2.5 km


Aufgabe 18
Zur Zeit t = 0 fährt 60 m vor einem PKW (VPkw= 54 km/h) eine Strassenbahn mit einer Geschwindigkeit von 36 km/h. Beide behalten ihre Geschwindigkeit bei.
(a) Wie viel Meter muss der PKW fahren, bevor er die Strassenbahn erreicht?

(b) Welche Strecke legt die Strassenbahn in dieser Zeit zurück?

(c) Wann erreicht der PKW die Strassenbahn?

Lösung:

Δv = 5 m/s                t = 60/5 = 12 s

a) PKW:                     s =t·v = 12·15 = 180 m

b) Strassenbahn:    s = v·t = 12·10 = 120 m

c) t = 12 s


 Aufgabe 19

Ein berühmtes Beispiel aus der Antike behandelt ein Rennen von Achill (griechischer Held) gegen eine Schildkröte.

Die Schildkröte habe 150 m Vorsprung und renne mit 4.8 km/h. Der schnellfüssige Achill renne ihr mit 8.3 m/s nach.

a) Zeichnen Sie das Ort-Zeit-Diagramm.

b) Wie lange ist Achill unterwegs bis er die Schildkröte eingeholt hat?

c) Wie weit muss Achilles bis zum Treffpunkt rennen?

 Lösung:

 a)

 b) t= 150/(8.3 – 1.33333) =21,5311003 = 21.5 s

c) s = v · t = 8.3 · 21.53 = 178,7 m

Hinweis Einführung des Grenzwertes (Geometrische Folge/Reihe)

 150/8.3 = 18,0722

 24,09638/8.3 =2,9031

 3,8709053/8.3= 0,4663

also ca. 21,436 i.o.

Aufgabe 19

Ein LKW beginnt um 10.00 Uhr seine Fahrt, wobei er durchschnittlich 60 km/h fährt. Eine Stunde nach seiner Abfahrt bemerkt der Chef, dass sein Fahrer wichtige Papiere vergessen. Er setzt sich in seinen Pkw und folgt ihm. Er schafft 90 km/h.
Wann und wo holt er den LKW ein?

Lösung: t = 60/30 = 2 h 1300 und 180 km

Aufgabe 20

Ein Autofahrer fährt eine Strecke von total 60 km. 20 km kann er mit 50 km/h fahren, 20 km mit 60 km/h und 20 km mit 80 km/h.

Wie hoch ist die Durchschnittsgeschwindigkeit?

Lösung:    v =

Hawk and Tom were talking in the bar. Hawk said,” I just got kicked off the course for breaking 60.”

Tom looked at him, amazed. ” Breaking 60? That’s amazing!”

Hawk smiled and said,” Yeah, I never knew a golf cart could go that fast!”

Aufgabe 21

Ich fahre mit 130 km/h auf der rechten Spur der Autobahn und nähere mich einem mit 100 km/h fahrenden LKW von 10 m Länge. Als ich 100 m hinter dem LKW bin und zum Überholen ansetzen will, fahre ich an der Anzeigetafel 1000 m vor meiner Abfahrt vorbei.

Wie weit vor der Abfahrt schliesst man den Überholvorgang ab, wenn man ordnungsgemäß im 2-s-Abstand vor dem LKW wieder auf die rechte Fahrbahn wechselt?

Mein Auto hat eine Länge von 4 m.

(2-s-Abstand: Sicherheitsabstand zwischen zwei Fahrzeugen; ist der Abstand, den ein Fahrzeug in

2 s zurücklegt.)

Kreuzen

 

Aufgabe 22

Ein Radfahrer startet um 7.00 Uhr im Ort A und fährt mit der mittleren Geschwindigkeit 20 km/h auf dem Radweg entlang der Bundesstrasse nach B. Um 9.00 Uhr fährt ein Auto von demselben Punkt in dieselbe Richtung ab. Es besitzt die mittlere Geschwindigkeit 80 km/h. Wann und nach welcher Strecke hat das Auto den Radfahrer eingeholt?

Lösung: t = 40 min also 9 Uhr 40 min und 53.33 km


Aufgabe 23

Zwei Fahrzeuge kommen mit den Geschwindigkeiten 40 und 60 km/h von zwei Orten, die 50 km voneinander entfernt sind, einander entgegen. Dabei fährt das zweite 30 Minuten nach dem ersten ab.

Wann und wo treffen sie sich?

Lösung: 48 min und 32 km         18 min und 18 km


Aufgabe 24

Die Orte A und B liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in A und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung B. Zur gleichen Zeit startet Karin in B und fährt mit 17 km/h in Richtung A. Nach wie viel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen A und B?

Lösung:     t = 25/32 =46.875 min 14:46.5875        von A: 11.71875 km


Aufgabe 25

Ein Mann läuft mit 4.6 km/h auf sein Haus zu, das noch 480 m entfernt ist. Sein Pudel rennt mit 9 km/h los bis zum Haus und kehrt dann um.

a) Skizzieren Sie das Ort-Zeit-Diagramm dieses Vorgangs (ohne Zahlen).

b) Wie lange und wie weit läuft der Mann bis zum Treffpunkt?

c) Angenommen, dieser Vorgang wiederhole sich, bis der Mann zuhause angekommen ist. Wie weit ist der Pudel dann gelaufen?

Lösung:

b)

tHund = 480/2.5 = 192

sMann = 192 4.6/3.6 =245,3333

 

t = 234.66666/(2.5+4.6/3.6)=62,11762

sMann = 79,372526470 = 79.4 m

also ttot = 254 s und stot = 325 m

c) sHund = 2.5 · 480/4.6/3.6 = 939,130434 = 939.1 m

 

 

Aufgabe 26

Zwei Schnellzüge befahren die 450 km lange Strecke zwischen den zwei Städten A und B auf parallelen Gleisen. Montags morgens fährt der erste Schnellzug von A nach B mit konstanten 150 km/h. Zur gleichen Zeit startet der andere Schnellzug von B in Richtung A. Er fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 210 km/h.

Nach wie viel Minuten fahren die beiden Schnellzüge aneinander vorbei?

Lösung:    t = 450 over 360 = 1¼ h = 75 min 

Aufgabe 27

Analysieren Sie das untenstehende s - t-Diagramm.

(a) Beschreiben Sie die beiden Bewegungen in Worten. Berechnen Sie v (drei Werte).

(b) Berechnen Sie die beiden Geradengleichungen, Gerade2 ab 15 Minuten.

(c) Berechnen Sie Ort und Zeitpunkt der Kreuzung.

Lösung:   

1:    v = 153.8 m/min = 2.564 m/s = 9.230 km/h

2: v = 0 m/s

v = 400 m/min = 24 km/h = 6.666 m/s

 

Gerade 2

s = 10000 - 400 m/min · (t -15 min) = 16000 m - 400 m/min · t= 16 km - 24 km/h cdot t

Addition von Geschwindigkeiten; Galilei Trafo


Aufgabe 28

Um 08.15 Uhr startet ein Transportflugzeug für eine Strecke von 783 km. Nach 40 Minuten kommt starker Gegenwind auf, der bis zum Ziel anhält und die Geschwindigkeit über Grund um 36 km/h reduziert. Das Ziel wird um 09.10 Uhr erreicht. Berechnen Sie die beiden Geschwindigkeiten.

Lösung:

783 =  v +¼ (v - 36)

12 · 783 = 8 v + 3 v -108

12 · 792 = 11 v

v= 12 · 72

v = 864 km/h und v = 828 km/h


Aufgabe 29

Am Gigathlon 2012 in Olten benötigte Daniel 1 h 26 min für die 9 km lange Schwimmstrecke in der Aare. Im Schwimmbecken erreicht er 4.2 km/h. Berechnen Sie die mittlere Strömungsgeschwindigkeit der Aare und ob Daniel flussaufwärts oder -abwärts geschwommen ist.
Lösung:

v = {9 km} ÷{1 h 26 min} = 6,279069767= 6.28 km/h, also 2.08 km/h flussabwärts


Aufgabe 30

Das Wasser eines 28 m breiten Flusses strömt mit 0.73 m/s. Ein Schwimmer bewegt sich mit 1.34 m/s relativ zum Wasser. Er möchte den Fluss direkt, d.h. rechtwinklig zum Ufer, überqueren.

a) In welche Richtung muss er schwimmen?

b) Wie lange dauert die Flussüberquerung?

Lösung:

a) sin α = 0.73 ÷ 1.34 → α = 33,0093657 = 33°

b) v = √ {1.34² – 0.73²} = 1,1236 m/s

t= 28/1.1236 = 24,9199003 = 24.9 s

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Aufgabe 31 

Ein Flugzeug (Eigengeschwindigkeit 864 km/h) erreicht sein Ziel mit Rückenwind in 5 h. Fliegt es mit derselben Eigengeschwindigkeit bei Gegenwind zurück, so benötigt es 6 h für dieselbe Strecke. Wie hoch ist die Windgeschwindigkeit, wie lange ist die Strecke?