Aufgabe 1
Breite (Durchmesser): b = 24
Bestimmen Sie den Radius des kleinen Kreises
Lösung: Pythagoras (12 + x)² = 12² + (12 - x )²
144 + 24 x + x² = 144 + 144 – 24 x +x² →48 x = 144 →x = 3 (kleiner Radius)
Aufgabe 2
Gesucht ist die Beziehung zwischen dem Radius des grossen(r) und des kleinen Kreises(x).
r: grosser Kreis x: kleiner Kreisberührung
(r+x)² – (r-x)² = (2 r-x)² – x²
4 r x = 4 r² -4 r x →x =½ r
Aufgabe 5
Die beiden kleinen Halbkreise berühren sich. Berechnen den schraffierten Flächeninhalt a) für r = 2 cm. b) für r allgemein.
Lösung: r² +(2r - x)2 = r+x
r2 + 4 r2 – 4 r x +x2 = r2 +2 r x + x2
4 r²= 6 r x x = 2/3 r
A1/4 = π r2 Ablank = 1/2 pi r2 +1/2 pi 4/9r2 =pi 13/18 r2
Aschraffiert = 5/18 r²
b = 20
h² = (20-x)² – 102 = (5+x)² – 5²
400 – 40x +x² -100 +25 + 10x + x² -25
300 = 50 x
x = 6
Aufgabe
In der Abbildung sehen Sie den rechteckigen Querschnitt eines Lüftungsschachts. Er beinhaltet drei Rohre, die sich gegenseitig berühren. Zwei Rohre sind kreisförmig mit gleichem Radius a. Ein Rohr ist halbkreisförmig. Berechnen Sie die Breite x des Lüftungsschachtes aus dem Radius a
Lösung:
(a - r)² + r²= (½ a + r)²
a²-2 a r + r² + r² =¼ a² + a·r + r²
r² - 3 a r + ¾ a² = 0
Gotische Fenster
Das gotische Fenster kann im wesentlichen auf zwei Halbkreise, einen Kreis und zwei Kreisbogen vereinfacht werden. Die drei Abschnitte der Strecke a sind gleich lang.
Drücken Sie die Basis a als Funktion des Radius r aus.
Lösung:
h² = (a-r)² – (½a)² = (⅓ a + r)²-(⅙ a)² → r = ¼a oder a = 4r
Aufgabe
Formulieren Sie r₁ und r₂ in Abhängigkeit der Quadratseitenlänge a so, dass A₁ = A₂ ist.
Lösung
A₁ = A₂
¼ π r₁² = π r₂² → r₂ = ½ r₁
√ 2 a = r₁ + r₂ + √ 2 r₂ = 2r₂+r₂ + √2 r₂ = r₂(3+√2)
¾⁸₀₃⅙₁₂⅓⅔⁴⅕⅖⁻ ⁺⁶³
r₂= a( ⅓√2 +√3) → r₁ = (3√2 - 2)a/7
Aufgabe
Im Quadrat mit der Seitenlänge a sind drei Halbkreise einbeschrieben. Berechnen Sie die Radien dieser drei Halbkreise. Die Resultate sind in der Form ri = ki·a anzugeben. Welcher Prozentsatz der Quadratfläche wird durch die Halbkreise überdeckt?
Lösung:
ru =½ a
Pythagoras
(½ a)² + (a - rs)² = (½ a + rs)²
¼ a² + a²-2a·rs+ rs² =¼a² +a·rs+rs²
a²-3a·rs=0 →rs =⅓·a
Pythagoras
(⅓ a)²+ (a -r₀)² = (⅓ a + r₀)²
1/9 a² + a²-2 a·r₀ + r₀²=1/9 a² + ⅔ a·ro + ro²
a² - 8/3 ar₀=0 → ro = 3/8 a
Atot = ½ π a²(¼+1/9 + 9/64)= 0,788125240 a² =78%
Aufgabe
Das Quadrat hat die Seitenlänge 2a. Drücken Sie den Radius x durch a aus.
Lösung:
a² + ( 2 a - x)² = (a + x)²
a² + 4 a² - 4a·x + x² = a² + +x²
4 a² = 6 a x
x =⅔ a
